Разберём, как устроены системы счисления. Эта тема пригодится на ЕГЭ по информатике: задание № 14 посвящено именно им.
Система счисления — это знаковая система, которая определяет правила записи чисел.
Цифры, из которых составляются числа, называют алфавитом системы счисления.
Чаще всего мы пользуемся арабской системой счисления, её также называют десятичной. В алфавите десятичной системы такие цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Основание
Основание — это количество цифр в алфавите системы счисления.
Свёрнутая и развёрнутая форма записи
Десятичную, двоичную, восьмеричную и другие подобные системы счисления называют позиционными. В позиционных системах счисления важно, на каком месте в числе стоит цифра. У каждой цифры есть свой вес.
Любое число в позиционной системе счисления можно записать в свёрнутой и развёрнутой форме.
Вот так можно представить число в развёрнутой форме:
Если представить число 1011₂ в развёрнутой форме, оно будет записано так:
В развёрнутой форме число представляется как сумма произведений каждой цифры на степень основания системы счисления, где показатель степени соответствует порядковому номеру разряда.
Алгоритм перевода в десятичную систему счисления
- Записать число в развёрнутой форме
- Вычислить арифметическое выражение
10101₂= 1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 21
Алгоритм перевода из десятичной системы счисления в любую другую
- Делить десятичное число и все полученные частные от деления нацело на основание, пока не получится 0
- Записать полученные остатки от деления в обратном порядке
Например, переведём число 14₁₀ в двоичную систему счисления.
Двоичные триады
Родственные системы счисления — это системы счисления, в которых основание одной системы выступает степенью основания другой. Например, двоичная и восьмеричная системы счисления родственные.
8 = 2³
Для перевода между этими системами можно использовать двоичные триады. Каждой восьмеричной цифре соответствует цепочка из трёх двоичных цифр.
Для перевода из восьмеричной системы счисления в двоичную достаточно каждую цифру заменить двоичной триадой.
Следовательно, 517₈ = 101001111₂
Для перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную нужно разбить число по тройкам справа налево и заменить каждую тройку восьмеричной цифрой.
Обрати внимание: если в первой триаде не хватает нулей, их нужно дописать с левой стороны от числа.
Сопоставим триады с числами в восьмеричной системе и запишем результат слева направо.
10101110₂ = 256₈
Как легко запомнить триады
Двоичные триады — это первые 8 чисел двоичной системы счисления (0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111). Если цифр в числе меньше трёх, слева нужно дописать нули.
Другие основания
По аналогии можно работать с другими системами счисления.
Для оснований 2 и 4, 3 и 9, 5 и 25, 4 и 16 нужно брать по две цифры, так как одно основание является квадратом другой. А для оснований 2 и 16 нужно будет взять 4 цифры.
Шестнадцатеричная система счисления
Основание шестнадцатеричной системы счисления — 16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Двоичные тетрады
Как и восьмеричная, шестнадцатеричная система счисления родственна двоичной:
16 = 2⁴
Значит, для перевода между ними можно воспользоваться двоичными тетрадами.
Каждой шестнадцатеричной цифре соответствует цепочка из четырёх двоичных цифр.
Для перевода из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную достаточно каждую цифру заменить двоичной тетрадой.
9A7₁₆ = 100110100111₂
Для перевода из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную нужно разбить число по четвёркам справа налево и заменить каждую шестнадцатеричной цифрой.
Обрати внимание: если в первой тетраде не хватает знаков, с левой стороны от числа нужно добавить нули.
11001010110₂ = 656₁₆
Как легко запомнить тетрады
Двоичные тетрады — это первые 16 чисел двоичной системы (0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111).
Если количество цифр в числе меньше четырёх, слева нужно дописать нули.