Автор статьи: Андрей Роженцов
Продолжаем знакомиться с вариациями задания № 15 из ЕГЭ по информатике. На этот раз рассмотрим графики. Для выполнения таких заданий необходимо уметь решать линейные и квадратные неравенства и уравнения и строить графики этих функций.
Где удобнее рисовать графики
На экзамене это можно делать либо от руки на черновике, либо воспользоваться установленным на экзаменационном компьютере ПО (например, Microsoft Excel или LibreOffice). Из плюсов отрисовки на компьютере выделим основной — точность. Ячейку таблицы можно принять за единицу масштаба и проводить прямые линии через нужные точки. Чтобы рисовать геометрические фигуры, нужно перейти на вкладку «Вставка» → «Иллюстрации».
Задача 1: простое условие
Выражение состоит из трёх неравенств, объединённых логическими сложениями. Значит, оно будет истинным, если верно хотя бы одно из неравенств. Начертим те неравенства, которые не зависят от А.
На графике отметим прямые х = 15 и y = 3. По условию задачи х и y — целые неотрицательные числа, поэтому будем рассматривать только ту четверть графика, где x ⩾= 0 и y ⩾ 0.
Заштрихуем область x ⩾ 15 красным цветом и y > 3 — синим цветом. Синяя линия проведена пунктиром, т. к. y ограничен строгим неравенством.
Если выбрать любую точку из закрашенной синим или красным области и подставить в выражение, то оно всегда будет истинным, т. к. одна из скобок (x ⩾ 15) и (y > 3) будет равна 1. Рассмотрим точку А с координатами (10; 5).
Подставим её в выражение:
(x ⩾ 15) ∨ (A > (x × y)) ∨ (y > 3) = 0 ∨ (A > (x × y)) ∨ 1 = 1
Выражение получилось истинным, не зависящим от значения А.
Остаётся прямоугольник, выделенный зелёным цветом. Для него формула А > x × y должна быть всегда истинной.
Какое максимальное значение может принимать выражение x × y в этой области?
Поскольку обе переменные неотрицательные, то чтобы произведение было как можно больше, каждая из переменных должна принимать максимально возможное значение.
Важный момент! Точка, лежащая на прямой x = 15, относится к красной области, т. к. неравенство x ⩾ 15 нестрогое. Поэтому максимальное целое значение х в зелёной области — 14.
Точка, лежащая на прямой y = 3, не относится к синей области из-за строгости неравенства y > 3, поэтому максимальное значение y в зелёной области — 3.
Максимальное значение выражения x × y = 14 × 3 = 42.
Подберём минимальное целое неотрицательное (по условию задачи) число А, которое будет больше чем 42. А = 43.
Ответ: 43
Задача 2: квадратные неравенства без графика
Последнее действие, которое выполняется в выражении, — логическое умножение. Чтобы формула была истинна, необходимо, чтобы каждый из множителей был истинным.
Рассмотрим их по отдельности.
- (x ⩾ A) ∨ (121 ⩾ x\^2) = 1
Выражение будет равно 1, если хотя бы одна из скобок равна 1, т. к. между ними стоит логическое сложение. Неравенство 121 ⩾ x\^2 справедливо при −11 ⩽ x ⩽ 11. Это значит, что при остальных целых неотрицательных (по условию задачи) значениях х (т. е. х = 12, 13, 14, 15 и т. д.) выражение x ⩾ A должно быть истинным. Нужно подобрать А, чтобы оно было меньше любого из этих х или равно ему. Тогда А ⩽ 12.
- (y\^2 \< 49) ∨ (A \< y) = 1
Аналогично выражение будет равно 1, если хотя бы одна из скобок равна 1. Неравенство y\^2 \< 49 справедливо при −7 \< y \< 7 или −6 ⩽ y ⩽ 6 (т. к. в задаче рассматриваются только целые числа). При остальных неотрицательных значениях y (т. е. y = 7, 8, 9, 10 и т. д.) выражение A \< y должно быть истинным. Нужно подобрать А, чтобы оно было строго меньше любого из этих y. Тогда А ⩽ 6.
Проанализируем ответы, полученные в 1-м и 2-м пунктах.
A ⩽ 12, A ⩽ 6. Необходимо, чтобы эти условия выполнялись одновременно, поэтому А ⩽ 6. Максимальное число А, удовлетворяющее неравенству, — 6.
Ответ: 6
Задача 3: взаимное расположение прямых
Отметим на координатной плоскости области, удовлетворяющие неравенствам y > 17 (синим цветом) и y \< x (красным цветом). Не забываем, что по условию задачи х и y неотрицательные, поэтому область левее оси OY мы не рассматриваем.
Для любой из точек, находящейся в закрашенной области, истинно одно из условий (y > 17) ∨ (x > y) или сразу оба. В результате логического сложения значение всего выражения будет равно 1.
Получаем, что для истинности всего выражения для точек из незакрашенной области всегда должно выполняться условие 2х + у \< A.
Из этого неравенства выразим у, перенеся 2х в правую часть: y \< −2x + A. Получилась область, которая находится под прямой y = −2x + A. В этом уравнении коэффициент А поднимает и опускает прямую в зависимости от своего значения. Построим прямую y = −2x. Коэффициент А = 0.
Мы выяснили, что точки из незакрашенной области должны удовлетворять неравенству 2x + y \< A, а значит, лежать под прямой y = −2x + A. Тогда будем увеличивать коэффициент А, тем самым поднимая прямую до тех пор, пока все незакрашенные точки не окажутся под прямой.
Пусть А = 10. Построим прямую y = −2x + 10. Нужно поднимать прямую ещё выше.
По углу наклона прямой заметим, что вся область окажется под прямой при её прохождении через точку (17; 17). Подставим в уравнение x = 17, y = 17 и найдём коэффициент А.
17 = −2 × 17 + А\
17 + 34 = А\
А = 51
Построим график равенства y = −2x + 51
Область, удовлетворяющая условию y \< −2x + 51, покрывает всю незакрашенную часть графика, и теперь кажется, что в любой точке выполняется хотя бы одно из условий.
Но! Внимательно рассмотрим точку (17; 17): из-за строгих знаков в неравенствах y > 17, x > y, y \< −2x + A (при А = 51) точка не удовлетворяет ни одному условию, поэтому при этих значениях х и y условие выражения будет ложно.
Увеличим А до 52.
y = −2x + 52.
Теперь и точка (17; 17) удовлетворяет условию y \< −2x + A, а значит, при любых x и y выражение будет истинным.
Ответ: 52
Подведём итоги
Решение подобного типа заданий аналитическим способом требует математических знаний о построении графиков, поведении функций и решении неравенств. Отметив на графике области, которые заданы неравенствами, не зависящими от А, мы фиксируем точки, удовлетворяющие условию изначально. Для оставшихся нам необходимо определить такой параметр А, чтобы вся область значений удовлетворяла неравенству, зависящему от коэффициента А.