Автор статьи: Андрей Рогов
Введение
Продолжаем рассказывать, как готовиться к ЕГЭ по информатике. Аналитический метод решения задания № 16 часто сводится к математическим преобразованиям выражений. Метод отлично подходит ученикам, уверенно владеющим математикой, и помогает проверить ответ, особенно при сложностях в программном решении.
Отметим, что для решения нужны разные математические приёмы, поэтому мы рассмотрим все варианты задания № 16.
Задача 1. Разность функций
Особенность заданий № 16 в том, что для получения ответа не нужно вычислять значения функций. Вопрос составлен так, что разные значения функции при преобразованиях будут давать конечный числовой ответ.
В задаче выше функция для вычисления использует значение функции с аргументом, меньшим на два. Поэтому распишем функцию F(2126), так как её аргумент больше.
F(2126) = 2126 + F(2124) = 2126 + 2124 + F(2122)
Обратите внимание, что в вопросе задания вычитаемое как раз равно F(2122), значит, они сократятся.
F(2126) - F(2122) = 2126 + 2124 + F(2122) - F(2122) = 2126 + 2124 = 4250
Вычисления рекомендуем делать с помощью IDLE Shell. Он удобнее для больших выражений, так как позволяет записать их полностью без промежуточных вычислений.
Задача 2. Функция с делением
Выражение выглядит сложно; оно записано в одну строку и не сразу понятно, что в числителе, а что — в знаменателе. Если записать его обычно, станет очевидно, что сумма сверху делится на F (2022). Так как функция опять зависит от значений функции с убыванием значений аргумента, нужно выражать большие значения через меньшие. В этой задаче — выразить F(2024) и F(2023) через F(2022).
F(2024) = 2024 × F(2023) = 2024 × 2023 × F(2022)
F(2023) = 2023 × F(2022)
Подставим в выражение.
(2024 × 2023 × F(2022) / 4 + 2023 × F(2022)) / F(2022)
Вынесем в числителе F(2022) за скобку. Тогда можно будет сократить F(2022) из числителя и знаменателя.
((2024 × 2023 / 4 + 2023) × F(2022)) / F(2022) = 2024 × 2023 / 4 + 2023 = 1 025 661.
Задача 3. Разность функций
В этом варианте задания № 16 функция зависит от функции с большим значением аргумента. Поэтому нужно, наоборот, выражать функцию с меньшим значением аргумента через функцию с большим значением, т. е. F(40) через F(44).
F(40) = F(42) + 2 = F(44) + 2 + 2 = F(44) + 4
Выражение из вопроса задачи F(40) - F(44) = F(44) + 4 - F(44) = 4
Задача 4. Вычисление функций
Здесь невозможно выразить одну из функций выражения через другую, так как разница в аргументах 2022 − 2018 = 4, а в функции шаг аргумента равен трём. Но в этом задании можно вычислить каждую из функций.
F(2022) = 2022 + 3 + F(2025) = 2022 + 3 + 2025 = 4050
F(2018) = 2018 + 3 + F(2021) = 2018 + 3 + 2021 + 3 + F(2024) = 2018 + 3 + 2021 + 3 + 2024 + 3 + F(2027) = 2018 + 3 + 2021 + 3 + 2024 + 3 + 2027 = 8099
F(2018) - F(2022) = 8099 - 4050 = 4049
Задача 5. Цикличное упрощение выражения
Как и в предыдущем задании, здесь не получится сократить функции в выражении. Единственный оставшийся вариант — вычислить их.
F(82) = 82 × 2 + F(84) = 82 × 2 + 84 × 4 + F(86) …
Значение функции будет равно сумме чисел 164, 168, 172, 176 … 4048, и последним числом будет 2026.
Вторая функция F(81) = 81 × 2 + 83 × 2 + … 2023 × 2 + 2025.
Разность этих функций можно записать как попарные разности чисел.
F(82) - F(81) = (164 - 162) + (168 - 166) + (172 - 170) + … + (4048 - 4046) + (2026 - 2025)
Таким образом, все скобки, кроме последней, дают к итоговой сумме 2, а последняя разность даёт 1.
Осталось посчитать, сколько здесь скобок. Для этого надо определить, сколько чисел в диапазоне от 164 до 4048, если идти с шагом в 4. Количество чисел равно (4048 - 164) / 4 + 1 = 972.
F(82) - F(81) = 972 × 2 + 1 = 1945
Другой способ решения этого задания — посчитать значение каждой функции по формуле суммы элементов арифметической прогрессии.
$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$
Из формулы n-го члена арифметической прогрессии
$a_n = a_1 + (n - 1) d$
можно найти количество членов прогрессии. Найдём значения для F(82).
$n = (a_n − a_1) / d + 1$
$n = (4048 − 164) / 4 + 1 = 972$
Тогда сумма будет равна S = 972 / 2 × (164 + 4048) = 2 047 032. Прибавим сюда ещё 2026 — число не входит в прогрессию, но прибавляется к функции. S = 2 047 032 + 2026 = 2 049 058.
Для F(81) получим n = (4046 - 162) / 4 + 1 = 972.
S = 972 / 2 × (162 + 4046) = 2 045 088, также прибавим сюда 2025.
S = 2 045 088 + 2025 = 2 047 113
F(82) - F(81) = 2 049 058 - 2 047 113 = 1945
Задача 6. Две функции
В этом задании № 16 представлено две функции. Но значение функции F зависит от функции G, которая, в свою очередь, зависит только от самой себя. Произведя первое преобразование, мы избавимся от функции F.
F(15548) = 2 × (G(15545) + 8) = 2 × ((G(15543) + 1 + 8) = 2 × ((G(15541) + 1 + 1 + 8) = 2 × ((G(15539) + 1 + 1 + 1 + 8)…
В итоге вычисления дойдут до значения функции G(9), которое равно 18. Каждый вызов функции G прибавляет единицу к сумме внутри скобки. Чтобы определить, сколько будет единиц, нужно найти количество чисел от 15 545 до 11 с шагом −2. Для этого можно также воспользоваться формулой количества членов арифметической прогрессии.
$n = (a_n - a_1) / d + 1$
$n = (11 - 15 545) / (-2) + 1 = 7768$
$F(15 548) = 2 - (7768 + 18 + 8) = 15 588$
Заключение
Аналитическое решение задания № 16 — отличный способ решения многих прототипов заданий ЕГЭ по информатике. Наши рекомендации по решению:
- начинать с анализа вида рекуррентного соотношения
- определять, можно ли сократить выражения
- выбирать оптимальный метод решения
- проверять корректность преобразований
- использовать промежуточные вычисления
Можно отметить, что некоторые типы заданий довольно сложно решить аналитически. Поэтому стоит рассматривать этот метод вместе с программным. Владея двумя методами, вы уверенно найдёте ответ.
Полезно решить подборку задач для практики.