Алгебра логики
Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями.
Высказывания могут быть истинными или ложными. Например, "дважды два - четыре" - это истинное высказывание; "Земля - это спутник Луны" - ложное высказывание.
Любое высказывание можно представить в виде логической переменной, которая принимать значение: истина/ложь, да/нет, true/false, 1/0.
Таблица истинности — это таблица, в которой отражены все значения логической функции при всех возможных значениях входных аргументов.
При помощи таблицы истинности мы можем узнать, при каких значениях переменных составное выражение будет принимать истинное значение, а при каких ложное.
Логические операции
Конъюнкция - логическое умножение - операция пересечения
Имеет следующие обозначения: И, AND, &, /\
Дизъюнкция - логическое сложение - операция объединения
Имеет следующие обозначения: ИЛИ, OR, | , \/
Инверсия - логическое отрицание
Имеет следующие обозначения: НЕ, NOT , A‾,¬AA,¬A
Таблица истинности основных логических операций
В логических выражениях используются следующие знаки сравнения:
Закон де Моргана
Отрицание конъюнкции ("И") равно дизъюнкции ("ИЛИ") отрицаний:
НЕ(A И B)=(НЕA) ИЛИ (НЕB)
Это означает, что если мы возьмем два утверждения A и B, объединённых через логическое "И", и отрицаем всё выражение, то результат будет таким же, как если бы мы отрицали каждое из утверждений по отдельности, а затем объединили их через "ИЛИ".
Отрицание дизъюнкции ("ИЛИ") равно конъюнкции ("И") отрицаний:
НЕ(A ИЛИ B)=(НЕA) И (НЕB)
Здесь говорится, что если взять два утверждения A и B, объединённых через "ИЛИ", и отрицать всё выражение, то это эквивалентно тому, чтобы отрицать каждое из утверждений по отдельности и затем соединить их через "И".
Примеры решения задач
Задача №1
Напишите наименьшее число x, для которого истинно высказывание: **(x > 16) И НЕ (x нечётное)**
- Выполним первую по приоритету операцию — операцию НЕ:
НЕ (x нечётное) результат: x чётное
- Т.е. после выполнения первой операции имеем:
(x > 16) И (x чётное)
- Видим, что выражение возвратит истину, когда обе части его истинны одновременно:
(x > 16) И (x чётное) = ИСТИНА истина истина
- Наименьшим числом, для которого истинны оба полученных утверждения, является число 18.
Ответ: 18
Задача №2
Напишите наименьшее число x, для которого ложно высказывание: (x ≤ 15) ИЛИ НЕ (x нечётное)
- Выполним первую по приоритету операцию — операцию НЕ:
НЕ (x нечётное) результат: x чётное
- Т.е. после выполнения первой операции имеем:
(x ≤ 15) ИЛИ (x чётное) = 0 (ложь)
- По таблице видим, что операцию ИЛИ следует проверять на ложь , как раз, как требуется по заданию. Выражение возвратит ложь только тогда, когда обе части его ложны одновременно:
(x ≤ 15) ИЛИ (x чётное) = ЛОЖЬ ложьложь
- Таким образом нам нужно найти такой $х$, что x > 15 и x — нечётный.
- Наименьшим числом, для которого истинны оба этих утверждения, является число 17.
Ответ: 17
Задача №3
Преобразуем выражение в более удобный вид:
Таким образом нам нужны двухзначные числа, кратные 5, и нечетные.
Чтобы найти результат, возьмем количество всех нечетных двухзначных чисел, это диапазон [11, 99] и отнимем из этого количества все числа, делящиеся на 5, т.е. это числа [15, 25, 35, 45,..., 95]. Заметим, что мы не берём 30, 40. Хотя они и делятся на 5, но являются при этом четными числами
Чтобы найти количество чисел в определённом диапазоне по какому-либо критерию используем формулу:
Таким образом:
1). Количество нечетных чисел в диапазоне [11, 99]:
Количество чисел кратных 5 и не являющихся чётными:
В итоге получаем ответ:
45 - 9 = 36.
Ответ: 36
Советы для подготовки к ОГЭ:
- Учите таблицы истинности и законы алгебры логики.
- Много. Много практики.