Задание №8 (Множества)

Что такое множества?

Множество — это одно из основных понятий в математике, представляющее собой набор или совокупность объектов, которые называются элементами этого множества. Элементы могут быть любыми, включая числа, буквы, фигуры и даже другие множества. Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, а их элементы — строчными.

K - множество котов

Мощность множества

Мощность множества — это количество элементов в данном множестве.

Мощность множества обозначается символом ∣K∣ для множества K.

Основные операции над множествами

Обозначения операций

U — объединение множеств. Если у нас два множества A или B, то теперь у нас такое множество где есть все элементы из A ИЛИ B.

∩ — пересечение множеств. Мы получаем такое множество, элементы которого есть есть только и в A И в B.

Объединение множеств

Объединение A ∪ B состоит из всех элементов исходных множеств A и B вместе. То есть в объединение попадут вообще все элементы, которые были хотя бы в одном из исходных множеств.

Пересечение множеств

Пересечение A ∩ B двух множеств A и B состоит из элементов, которые принадлежат обоим исходным множествам.

В пересечение попадут лишь те элементы, которые есть и в A, и в B одновременно

Пересечение двух множеств также является множеством. Если нет элементов, которые принадлежат обоим множествам сразу, то пересечение множеств будет пустым: A ∩ B = ∅.

Принцип включения-исключения

Для двух множеств

Принцип включения-исключения — это комбинаторная формула, которая позволяет вычислить мощность объединения конечного числа множеств, учитывая возможные пересечения между ними. Этот принцип помогает избежать двойного счёта элементов, которые могут принадлежать нескольким множествам.

∣A ∪ B∣ = ∣A∣ + ∣B∣ − ∣A∩B∣

Для трёх множеств

В формуле включения-исключения для трех множеств в конце прибавляется мощность тройного пересечения, чтобы корректно учесть элементы, которые были исключены несколько раз.

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣B∩C∣−∣A∩C∣+∣A∩B∩C∣