Интегралы: площадь под графиком
Смысл
Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — площадь под графиком $f$ от $a$ до $b$ (части ниже оси считаются со знаком минус). Его можно приблизить суммой прямоугольников — так интегралы и считают численно.
Связь с производной
Основная теорема анализа: если $F' = f$, то
$$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $$
Пример: $\int_0^3 (0.5x^2 + 1)\,dx = \left[\frac{x^3}{6} + x\right]_0^3 = 4.5 + 3 = 7.5$ — совпадает с суммой прямоугольников на картинке.
| $f(x)$ | первообразная $F(x)$ |
|---|---|
| $x^n$ ($n \ne -1$) | $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $1/x$ | $\ln\lvert x\rvert$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
Зачем интегралы в ML
- Плотность вероятности: вероятность попасть в интервал — площадь под плотностью: $P(a < X < b) = \int_a^b p(x)\,dx$. Вся площадь равна 1.
- Матожидание непрерывной величины: $\mathbb{E}[X] = \int x\,p(x)\,dx$ — «взвешенное среднее» по всем значениям.
- Маргинализация: $p(x) = \int p(x, z)\,dz$ — «проинтегрировать по скрытой переменной». Этот интеграл обычно не считается, отсюда VAE, ELBO и сэмплирование.
- AUC — буквально площадь под ROC-кривой.
- На практике интегралы почти всегда заменяют средним по сэмплам (метод Монте-Карло): $\mathbb{E}[f(X)] \approx \frac{1}{N}\sum f(x_i)$.
🏋️ Практика Б8
Б8.1. Посчитайте $\int_0^2 3x^2\,dx$.
▶️ Ответ
$[x^3]_0^2 = 8$.Б8.2. Плотность $p(x) = 2x$ на $[0, 1]$. Проверьте, что площадь равна 1, и найдите $\mathbb{E}[X]$.
▶️ Ответ
$\int_0^1 2x\,dx = [x^2]_0^1 = 1$. $\mathbb{E}[X] = \int_0^1 x \cdot 2x\,dx = [2x^3/3]_0^1 = 2/3$.Б8.3. Оцените $\int_0^1 e^{-x^2}dx$ методом Монте-Карло.
▶️ Ответ
import numpy as np
u = np.random.rand(1_000_000)
print(np.exp(-u**2).mean()) # ≈ 0.7468