Множества, логика и чтение формул
Множества
| Запись | Читается | Пример |
|---|---|---|
| $x \in A$ | x принадлежит A | $3 \in \mathbb{N}$ |
| $A \subseteq B$ | A — подмножество B | целые ⊆ вещественные |
| $A \cup B$ | объединение | train ∪ val |
| $A \cap B$ | пересечение | train ∩ test должно быть пусто! |
| $A \setminus B$ | разность | словарь без стоп-слов |
| $\varnothing$ | пустое множество | |
| $\lvert A\rvert$ | мощность (число элементов) | размер словаря |
| $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}$ | натуральные, целые, вещественные | $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{768}$ |
| $[a, b]$, $(a, b)$ | отрезок (с концами), интервал (без) | $p \in [0, 1]$ |
Запись через условие: $\lbrace x \in \mathbb{R} : x > 0 \rbrace$ — «все вещественные $x$, такие что $x > 0$».
IoU в детекции и сегментации — $\frac{\lvert A \cap B\rvert}{\lvert A \cup B\rvert}$ — прямо формула про множества пикселей.
Логика и кванторы
| Символ | Смысл | Пример |
|---|---|---|
| $\forall$ | для всех | $\forall x: x^2 \ge 0$ |
| $\exists$ | существует | $\exists x: x^2 = 4$ |
| $\Rightarrow$ | следует | $x > 2 \Rightarrow x > 1$ |
| $\iff$ | тогда и только тогда | $x^2 = 0 \iff x = 0$ |
| $\wedge$, $\vee$, $\neg$ | и, или, не |
Ловушка: из «$A \Rightarrow B$» не следует «$B \Rightarrow A$». «Если модель переобучилась, то train-лосс низкий» — верно; обратное — нет.
Как читать формулу из статьи
- Выпиши все обозначения и их размерности (что вектор, что матрица, что число).
- Найди, по чему идёт сумма или ожидание: $\sum_{i}$, $\mathbb{E}_{x \sim p}$.
- Переведи в псевдокод: $\sum$ → цикл, $\mathbb{E}$ → среднее по сэмплам, $\arg\max$ →
argmax. - Подставь маленькие числа (2×2 матрицы, 3 примера) и посчитай руками или в NumPy.
- Проверь крайние случаи: что будет при $T \to 0$, $\lambda = 0$, одном примере.
Пример. $\mathcal{L} = -\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \log p_\theta(y_i \mid \mathbf{x}_i)$ читается: «средний по N примерам минус логарифм вероятности, которую модель с параметрами θ присвоила правильному ответу $y_i$ для входа $\mathbf{x}_i$» — это cross-entropy.
🏋️ Практика Б12
Б12.1. Train — примеры с id 1–800, test — 750–1000. Найдите пересечение. Что не так?
▶️ Ответ
Пересечение — id 750–800, 51 пример. Это **утечка данных**: модель видела часть теста на обучении, оценка качества завышена. Должно быть train ∩ test = ∅.Б12.2. Предсказанная рамка — 100 пикселей, истинная — 80, общих — 60. IoU?
▶️ Ответ
$\lvert A \cup B\rvert = 100 + 80 - 60 = 120$. IoU = 60/120 = 0.5 — обычный порог «детекция засчитана».Б12.3. Прочитайте вслух: $\forall \varepsilon > 0\ \exists N: \forall n > N\ \lvert a_n - L\rvert < \varepsilon$.