В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо использовать весь арсенал полученных ранее знаний.
Правила сложения и вычитания целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Напомним, что рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде дроби 
, где a – это числитель дроби, b – знаменатель дроби. При этом, b не должно быть нулём.
В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием – рациональные числа.
Пример 1. Найти значение выражения: 
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к дроби 
. У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:
Модуль рационального числа больше, чем модуль рационального числа 
. Поэтому мы из вычли 
. Получили ответ 
. Затем сократив эту дробь на 2, получили окончательный ответ 
.
Некоторые примитивные действия, такие как заключение чисел в скобки и проставление модулей, можно пропустить. Данный пример вполне можно записать покороче:
Пример 2. Найти значение выражения: 
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус, стоящий между рациональными числами 
и 
является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:
Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
Запишем решение данного примера покороче:
Примечание. Заключать в скобки каждое рациональное число вовсе необязательно. Делается это для удобства, чтобы хорошо видеть какие знаки имеют рациональные числа.
Пример 3. Найти значение выражения: 
В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к общему знаменателю. Не будем подробно останавливаться на том как это сделать. Если испытываете с этим затруднения, обязательно повторите урок действия с дробями.
После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Запишем решение данного примера покороче:
Пример 4. Найти значение выражения 
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Вычислим данное выражение в следующем порядке: слóжим рациональные числа 
и 
, затем из полученного результата вычтем рациональное число 
. 
Первое действие:
Второе действие:
Таким образом, значение выражения равно 
Пример 5. Найти значение выражения: 
Представим целое число −1 в виде дроби 
, а смешанное число 
переведём в неправильную дробь:
Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Получили ответ 
.
Есть и второй способ решения. Он заключается в том, чтобы сложить отдельно целые части.
Итак, вернёмся к изначальному выражению:
Заключим каждое число в скобки. Для этого смешанное число временно развернём:
Вычислим целые части:
(−1) + (+2) = 1
В главном выражении вместо (−1) + (+2) запишем полученную единицу:
Полученное выражение свернём. Для этого запишем единицу и дробь вместе:
Запишем решение этим способом покороче:
Пример 6. Найти значение выражения 
Переведём смешанное число 
в неправильную дробь. Остальную часть перепишем без изменения:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Запишем решение данного примера покороче:
Пример 7. Найти значение выражение 
Представим целое число −5 в виде дроби 
, а смешанное число 
переведём в неправильную дробь:
Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Таким образом, значение выражения равно 
.
Решим данный пример вторым способом. Вернемся к изначальному выражению:
Запишем смешанное число 
в развёрнутом виде. Остальное перепишем без изменений:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
Вычислим целые части:
В главном выражении вместо 
запишем полученное число −7
Выражение является развёрнутой формой записи смешанного числа . Запишем число −7 и дробь 
вместе, образуя окончательный ответ:
Запишем это решение покороче:
Пример 8. Найти значение выражения 
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Таким образом, значение выражения равно 
Данный пример можно решить и вторым способом. Он заключается в том, чтобы сложить целые и дробные части по отдельности. Вернёмся к изначальному выражению:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Но в этот раз слóжим по отдельности целые части (−1 и −2), и дробные 
и
Запишем это решение покороче:
Пример 9. Найти значение выражения 
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Заключим рациональное число 
в скобки вместе своим знаком. Рациональное число 
в скобки заключать не нужно, поскольку оно уже в скобках:
Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Таким образом, значение выражения равно 
Теперь попробуем решить этот же пример вторым способом, а именно сложением целых и дробных частей по отдельности.
В этот раз, в целях получения короткого решения, попробуем пропустить некоторые действия, такие как: запись смешанного числа в развёрнутом виде и замена вычитания сложением:
Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.
Пример 10. Найти значение выражения 
Заменим вычитание сложением:
В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, а также убрать скобки:
Получилось простейшее выражение, которое вычисляется легко. Вычислим его любым удобным для нас способом:
Пример 11. Найти значение выражения 
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Пример 12. Найти значение выражения 
Выражение состоит из нескольких рациональных чисел. Согласно порядку действий, в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.
Сначала вычислим выражение 
, затем выражение 
Полученные результаты слóжим .
Первое действие:
Второе действие:
Третье действие:
Ответ: значение выражения равно 
Пример 13. Найти значение выражения 
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Заключим рациональное число 
в скобки вместе со своим знаком. Рациональное число 
заключать в скобки не нужно, поскольку оно уже в скобках:
Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Таким образом, значение выражения равно 
Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые могут быть как положительными, так и отрицательными.
Пример 14. Найти значение выражения −3,2 + 4,3
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы его запишем для наглядности:
(−3,2) + (+4,3)
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих десятичных дробей до их вычисления:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2 поэтому мы из 4,3 вычли 3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, поскольку перед ответом должен стоять знак того рационального числа, модуль которого больше. А модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2
Таким образом, значение выражения −3,2 + (+4,3) равно 1,1
Этот пример можно записать покороче:
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (−8,3)
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере из большего модуля вычитаем меньший и перед ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Таким образом, значение выражения 3,5 + (−8,3) равно −4,8
Этот пример можно записать покороче:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Пример 16. Найти значение выражения −7,2 + (−3,11)
Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус.
Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Таким образом, значение выражения −7,2 + (−3,11) равно −10,31
Этот пример можно записать покороче:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Пример 17. Найти значение выражения −0,48 + (−2,7)
Это сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Пример 18. Найти значение выражения −4,9 − 5,9
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который располагается между рациональными числами −4,9 и 5,9 является знаком операции и не относится к числу 5,9. У этого рационального числа свой знак плюса, который невидим по причине того, что он не записывается. Но мы запишем его для наглядности:
(−4,9) − (+5,9)
Заменим вычитание сложением:
(−4,9) + (−5,9)
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Таким образом, значение выражения −4,9 − 5,9 равно −10,8
Запишем решение этого примера покороче:
−4,9 − 5,9 = −10,8
Пример 19. Найти значение выражения 7 − 9,3
Заключим в скобки каждое число вместе со своими знаками
(+7) − (+9,3)
Заменим вычитание сложением
(+7) + (−9,3)
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Таким образом, значение выражения 7 − 9,3 равно −2,3
Запишем решение этого примера покороче:
7 − 9,3 = −2,3
Пример 20. Найти значение выражения −0,25 − (−1,2)
Заменим вычитание сложением:
−0,25 + (+1,2)
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Запишем решение этого примера покороче:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Пример 21. Найти значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1)
Выполним действия в скобках, затем слóжим полученный ответ с числом −3,5
Первое действие:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Второе действие:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Ответ: значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1) равно −6,5.
Пример 22. Найти значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)
Выполним действия в скобках. Затем из числа, которое получилось в результате выполнения первых скобок, вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок:
Первое действие:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Второе действие:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Третье действие
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Ответ: значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) равно 6.
Пример 23. Найти значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это значит, что слагаемые можно складывать в любом порядке.
Не будем изобретать велосипед, а слóжим все слагаемые слева направо в порядке их следования:
Первое действие:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Второе действие:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − 6,20 = 7,15
Третье действие:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Ответ: значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 равно 1.
Пример 24. Найти значение выражения 
Переведём десятичную дробь −1,8 в смешанное число. Остальное перепишем без изменения:
Далее вычисляем данное выражение, применяя ранее изученные правила:
Пример 25. Найти значение выражения 
Заменим вычитание сложением. Попутно переведём десятичную дробь (−4,4) в неправильную дробь
В получившемся выражении нет отрицательных чисел. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вторым числом, и убрать скобки. Тогда получим простое выражение на сложение, которое решается легко
Пример 26. Найти значение выражения 
Переведём смешанное число 
в неправильную дробь, а десятичную дробь −0,85 в обыкновенную дробь. Получим следующее выражение:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:
Пример 27. Найти значение выражения 
Переведём обе дроби в неправильные дроби. Чтобы перевести десятичную дробь 2,05 в неправильную дробь, можно перевести ее сначала в смешанное число, а затем в неправильную дробь:
После перевода обеих дробей в неправильные дроби, получим следующее выражение:
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль и перед полученным ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:
Пример 28. Найти значение выражения 
Заменим вычитание сложением. Далее переведём десятичную дробь в обыкновенную дробь. Затем вычислим получившееся выражение, применяя ранее изученные правила:
Пример 29. Найти значение выражения 
Переведём десятичные дроби −0,25 и −1,25 в обыкновенные дроби, остальное перепишем без изменения. Получим следующее выражение:
Можно сначала заменить вычитание сложением там, где это можно и сложить рациональные числа одно за другим.
Есть и второй вариант: сначала сложить рациональные числа 
и 
, а затем из полученного результата вычесть 
. Этим вариантом и воспользуемся.
Первое действие:
Второе действие:
Ответ: значение выражения равно −2.
Пример 30. Найти значение выражения
Переведём десятичные дроби в обыкновенные. Остальное перепишем без изменения:
Получили сумму из нескольких слагаемых. Если сумма состоит из нескольких слагаемых, то выражение можно вычислять в любом порядке. Это следует из сочетательного закона сложения.
Поэтому мы можем организовать наиболее удобный для нас вариант. В первую очередь можно сложить первое и последнее слагаемое, а именно рациональные числа 
и 
. У этих чисел одинаковые знаменатели, а значит это освободит нас от необходимости приводить их к нему.
Первое действие:
Полученное число можно сложить со вторым слагаемым, а именно с рациональным числом 
. У рациональных чисел и 
одинаковые знаменатели в дробных частях, что опять же является преимуществом для нас
Второе действие:
Ну и слóжим полученное число −7 с последним слагаемым, а именно с рациональным числом 
. Удобно то, что при вычислении данного выражения, семёрки исчезнут, поскольку их сумма будет равна нулю:
Третье действие:
Ответ: значение выражения равно 