Сравнение величин
Ранее мы узнали, что отношение между величинами разной природы образуют новую величину. Так, отношение пройденного расстояния ко времени есть скорость движения. Отношение стоимости товара к его количеству есть цена одной единицы товара.
Но отношение можно использовать и для сравнения величин. Результат выполнения такого отношения есть число, показывающее во сколько раз первая величина больше второй или какую часть первая величина составляет от второй.
Чтобы узнать во сколько раз первая величина больше второй, в числитель отношения нужно записать большую величину, а в знаменатель меньшую величину.
Чтобы узнать какую часть первая величина составляет от второй, в числитель отношения нужно записать меньшую величину, а в знаменатель большую величину.
Рассмотрим числа 20 и 2. Давайте узнаем во сколько раз число 20 больше числа 2. Для этого находим отношение числа 20 к числу 2. В числителе отношения записываем число 20, а в знаменателе – число 2
Значение данного отношения равно десяти
Отношение числа 20 к числу 2 есть число 10. Это число показывает во сколько раз число 20 больше числа 2. Значит число 20 больше числа 2 в десять раз.
Пример 2. В классе 15 школьников. 5 из них это мальчики, 10 – девочки. Определить во сколько раз девочек больше мальчиков.
Записываем отношение девочек к мальчикам. В числителе отношения записываем количество девочек, в знаменатель отношения – количество мальчиков:
Значение данного отношения равно 2. Значит в классе из 15 человек девочек в два раза больше мальчиков.
Здесь уже не стоит вопрос о том, сколько девочек приходятся на одного мальчика. В данном случае отношение используется для сравнения количества девочек с количеством мальчиков.
Пример 3. Какую часть число 2 составляет от числа 20.
Находим отношение числа 2 к числу 20. В числителе отношения записываем число 2, а в знаменателе – число 20
Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее
Значение отношения числа 2 к числу 20 есть число 0,1
В данном случае десятичную дробь 0,1 можно перевести в обыкновенную. Такой ответ будет проще для восприятия:
Значит число 2 от числа 20 составляет одну десятую часть.
Можно сделать проверку. Для этого найдём 
от числа 20. Если мы всё сделали правильно, то должны получить число 2
20 : 10 = 2
2 × 1 = 2
Получили число 2. Значит одна десятая часть от числа 20 есть число 2. Отсюда делаем вывод, что задача решена верно.
Пример 4. В классе 15 человек. 5 из них это мальчики, 10 – девочки. Определить какую часть от общего количества школьников составляют мальчики.
Записываем отношение мальчиков к общему количеству школьников. В числителе отношения записываем пять мальчиков, в знаменателе – общее количество школьников. Общее количество школьников это 5 мальчиков плюс 10 девочек, поэтому в знаменателе отношения записываем число 15
Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее. В данном случае число 5 нужно разделить на число 15
При делении 5 на 15 получается периодическая дробь. Переведём эту дробь в обыкновенную
Сократим полученную дробь на 3
Получили окончательный ответ 
. Значит мальчики составляют одну треть от всего класса
На рисунке видно, что в классе из 15 школьников треть класса составляют 5 мальчиков.
Если для проверки найти от 15 школьников, то мы получим 5 мальчиков
15 : 3 = 5
5 × 1 = 5
Пример 5. Во сколько раз число 35 больше числа 5 ?
Записываем отношение числа 35 к числу 5. В числитель отношения нужно записать число 35, в знаменатель – число 5, но не наоборот
Значение данного отношения равно 7. Значит число 35 в семь раз больше числа 5.
Пример 6. В классе 15 человек. 5 из них это мальчики, 10 – девочки. Определить какую часть от общего количества составляют девочки.
Записываем отношение девочек к общему количеству школьников. В числителе отношения записываем десять девочек, в знаменателе – общее количество школьников. Общее количество школьников это 5 мальчиков плюс 10 девочек, поэтому в знаменателе отношения записываем число 15
Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее. В данном случае, число 10 нужно разделить на число 15
При делении 10 на 15 получается периодическая дробь. Переведём эту дробь в обыкновенную
Сократим полученную дробь на 3
Получили окончательный ответ 
. Значит девочки составляют две трети от всего класса
На рисунке видно, что в классе из 15 школьников две трети класса составляют 10 девочек.
Если для проверки найти от 15 школьников, то получим 10 девочек
15 : 3 = 5
5 × 2 = 10
Пример 7. Какую часть 10 см составляют от 25 см
Записываем отношение десяти сантиметров к двадцати пяти сантиметрам. В числителе отношения записываем 10 см, в знаменателе – 25 см
Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее. В данном случае число 10 нужно разделить на число 25
Переведём полученную десятичную дробь в обыкновенную
Сократим полученную дробь на 2
Получили окончательный ответ 
. Значит 10 см составляют от 25 см.
Пример 8. Во сколько раз 25 см больше 10 см
Записываем отношение двадцати пяти сантиметров к десяти сантиметрам. В числителе отношения записываем 25 см, в знаменателе – 10 см
Найдём значение данного отношения
Получили ответ 2,5. Значит 25 см больше 10 см в 2,5 раза (в два с половиной раза)
Важное замечание. При нахождении отношения одноименных физических величин эти величины обязательно должны быть выражены в одной единице измерения, в противном случае ответ будет неверным.
Например, если мы имеем дело с двумя длинами и хотим узнать во сколько раз первая длина больше второй или какую часть первая длина составляет от второй, то обе длины сначала нужно выразить в одной единице измерения.
Пример 9. Во сколько раз 150 см больше 1 метра?
Сначала сделаем так, чтобы обе длины были выражены в одной единице измерения. Для этого переведем 1 метр в сантиметры. Один метр это сто сантиметров
1 м = 100 см
Теперь находим отношение ста пятидесяти сантиметров к ста сантиметрам. В числителе отношения записываем 150 сантиметров, в знаменателе – 100 сантиметров
Найдём значение данного отношения
Получили ответ 1,5. Значит 150 см больше 100 см в 1,5 раза (в полтора раза).
А если бы не стали переводить метры в сантиметры и сразу попытались найти отношение 150 см к одному метру, то у нас получилось бы следующее:
Получилось бы, что 150 см больше одного метра в сто пятьдесят раз, а это неверно. Поэтому обязательно нужно обращать внимание на единицы измерения физических величин, которые участвуют в отношении. Если эти величины выражены в разных единицах измерения, то для нахождения отношения этих величин, нужно перейти к одной единице измерения.
Пример 10. В прошлом месяце зарплата человека составляла 25000 рублей, а в текущем месяце зарплата выросла до 27000 рублей. Определить во сколько раз выросла зарплата
Записываем отношение двадцати семи тысяч к двадцати пяти тысячам. В числителе отношения записываем 27000, в знаменателе – 25000
Найдём значение данного отношения
Получили ответ 1,08. Значит зарплата выросла в 1,08 раза. В будущем, когда мы познакомимся с процентами, такие показатели как зарплата будем выражать в процентах.
Пример 11. Ширина многоквартирного дома 80 метров, а высота 16 метров. Во сколько раз ширина дома больше его высоты?
Записываем отношение ширины дома к его высоте:
Значение данного отношения равно 5. Значит ширина дома в пять раз больше его высоты.