Законы умножения
Некоторые из законов математики мы рассматривали в уроке законы математики. Но мы рассмотрели не все законы. В математике немало законов и разумнее будет изучать их последовательно по мере необходимости.
Для начала вспомним из чего состоит умножение. Умножение состоит из трёх параметров: множимого, множителя и произведения. Например, в выражении 3 × 2 = 6, число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение.
Множимое показывает, что именно мы увеличиваем. В нашем примере мы увеличиваем число 3.
Множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. В нашем примере множитель это число 2. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое 3. То есть в ходе операции умножения число 3 будет увеличено в два раза.
Произведение это собственно результат операции умножения. В нашем примере произведение это число 6. Это произведение является результатом умножения 3 на 2.
Выражение 3 × 2 также можно понимать как сумму двух троек. Множитель 2 в таком случае будет показывать сколько раз нужно повторить число 3:
Таким образом, если число 3 повторить два раза подряд, получится число 6.
Переместительный закон умножения
Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители. Переместительный закон умножения выглядит следующим образом:
От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.
Проверим так ли это. Умножим например 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители.
3 × 5 = 15
Теперь поменяем местами сомножители:
5 × 3 = 15
В обоих случаях мы получаем ответ 15, поэтому между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному тому же значению:
3 × 5 = 5 × 3
15 = 15
А с помощью переменных переместительный закон умножения можно записать так:
a × b = b × a
где a и b — сомножители
Сочетательный закон умножения
Этот закон говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.
К примеру, выражение 3 × 2 × 4 состоит из нескольких сомножителей. Чтобы его вычислить, можно перемножить 3 и 2, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 4. Выглядеть это будет так:
3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24
Это был первый вариант решения. Второй вариант состоит в том, чтобы перемножить 2 и 4, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 3. Выглядеть это будет так:
3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24
В обоих случаях мы получаем ответ 24. Поэтому между выражениями (3 × 2) × 4 и 3 × (2 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)
24 = 24
а с помощью переменных сочетательный закон умножения можно записать так:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
где вместо a, b, c могут стоять любые числа.
Распределительный закон умножения
Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число. Для этого каждое слагаемое этой суммы умножается на это число, затем полученные результаты складывают.
Например, найдём значение выражения (2 + 3) × 5
Выражение находящееся в скобках является суммой. Эту сумму нужно умножить на число 5. Для этого каждое слагаемое этой суммы, то есть числа 2 и 3 нужно умножить на число 5, затем полученные результаты сложить:
(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
Значит значение выражения (2 + 3) × 5 равно 25.
С помощью переменных распределительный закон умножения записывается так:
(a + b) × c = a × c + b × c
где вместо a, b, c могут стоять любые числа.
Закон умножения на ноль
Этот закон говорит о том, что если в любом умножении имеется хотя бы один ноль, то в ответе получится ноль.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Например, выражение 0 × 2 равно нулю
0 × 2 = 0
В данном случае число 2 является множителем и показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. То есть во сколько раз увеличить ноль. Буквально это выражение читается так: «увеличить ноль в два раза». Но как можно увеличить ноль в два раза, если это ноль? Никак!
Иными словами, если «ничего» увеличить в два раза или даже в миллион раз, всё равно получится «ничего».
И если в выражении 0 × 2 поменять местами сомножители, опять же получится ноль. Это мы знаем из предыдущего переместительного закона:
0 × 2 = 2 × 0
0 = 0
Примеры применения закона умножения на ноль:
5 × 0 = 0
5 × 5 × 5 × 0 = 0
2 × 5 × 0 × 9 × 1 = 0
В последних двух примерах имеется несколько сомножителей. Увидев в них ноль, мы сразу в ответе поставили ноль, применив закон умножения на ноль.
Мы рассмотрели основные законы умножения. Теперь рассмотрим самó умножение целых чисел.