1.51 Системы линейных уравнений

Решение

Пусть x кг сена выдавали каждой лошади, и y кг каждой корове. Лошадей было 8, а коров 15. Это значит, что сена всем лошадям выдавали 8x кг, а всем коровам 15y кг. Вместе лошадям и коровам сена выдавали 162 кг. Тогда первое уравнение можно записать как 8x + 15y = 162

Известно, что 5 лошадей получали 5x кг сена, а 7 коров 7y кг. Если 5 лошадей получали на 3 кг больше сена, чем 7 коров, то второе уравнение можно записать как 5x − 7y = 3.

Поскольку в обоих уравнениях переменные x и y обозначают одно и то же число, то можно образовать из них систему и решить её

Ответ: ежедневно сена каждой лошади выдавали 9 кг, а каждой корове 6 кг.

Решение

Пусть x вагонов было подано для отправки y тонн груза. Погрузку груза в вагоны можно описать с помощью отношения . Это отношение показывает сколько тонн груза приходится на один вагон.

В первом случае в каждый вагон грузится 15,5 т. Тогда первое уравнение можно записать как  . Но в условии сказано, что если грузить по 15,5 т в вагон, то 4 т груза останутся непогруженными. Это означает, что будет погружен не весь груз, а только y − 4 тонн груза. Поэтому первое уравнение перепишем как

Во втором случае в каждый вагон грузится 16,5 т. Тогда второе уравнение можно записать как  . Но в задаче сказано, что если грузить по 16,5 т в вагон, то для полной загрузки вагонов не хватит 8 т груза. Это означает, что будет погружен весь груз, плюс останется места для погрузки ещё восьми тонн груза. Иными словами, при таком раскладе можно погрузить в вагоны y + 8 тонн груза. Поэтому второе уравнение перепишем как

Поскольку в обоих уравнениях переменные x и y обозначают одно и то же число, то можно образовать из них систему и решить её:

Ответ: вагонов было 12, а груза 190 тонн.

Решение

Пусть x скамеек было поставлено в зале, а учеников было y.

В первом случае на каждую скамейку сажается 5 учеников. Разделим y учеников по 5 человек и посадим их на x скамеек:

Но в условии сказано, что если посадить по 5 учеников на скамейку, то не хватит 8 скамеек. У нас имеется только x скамеек. Чтобы все y учеников смогли сесть на скамейки, добавим к x скамейкам ещё 8 скамеек

Во втором случае на каждую скамейку сажается 6 учеников. Разделим y учеников по 6 человек и посадим их на x скамеек:

Но в условии сказано, что если посадить по 6 учеников на скамейку, то 2 скамейки останутся свободными. В этом случае ученики сядут не на x, а на x − 2 скамейки. Перепишем второе уравнение в следующем виде:

Поскольку в обоих уравнениях переменные x и y обозначают одно и то же число, то можно образовать из них систему и решить её:

Ответ: скамеек было 52, а учеников 300.

Решение

Пусть x человек участвует в экскурсии, а расходы на эту экскурсию составляют y рублей.

Если каждый участник экскурсии внесет по 12 руб. 50 коп., то расходы составят 12,50x руб. При этом сказано, что в таком случае для покрытия расходов не хватит 100 руб. Чтобы покрыть расходы прибавим к расходам 12,50x еще 100 рублей

12,50x + 100

Выражение 12,50x + 100, как и переменная y описывает одну и ту же величину — расходы на экскурсию. Поэтому можно соединить эти два выражения знаком равенства, образуя тем самым первое уравнение для системы:

12,50x + 100 = y

Далее в задаче сказано, что если каждый участник внесёт по 16 руб., то останется излишек 12 руб. Поскольку количество участников это x, то расходы при таком раскладе составят 16x. Расходы в 16x рублей больше планируемых y рублей на 12 руб. Чтобы получить второе уравнение вычтем из 16x руб излишек 12 руб.

16x − 12

Как и предыдущее выражение 12,50x + 100, выражение 16x − 12 описывает расходы на экскурсию и его можно приравнять к переменной y. Это будет вторым уравнением для системы:

16x − 12 = y

Получили два уравнения: 12,50x + 100 = y и 16x − 12 = y. Переменные x и y обозначают одно и то же число, поэтому можно образовать из них систему и решить её:

Значит в экскурсии участвует 32 человека.

В данной задаче не стоял  вопрос какими будут расходы на экскурсию. Но для интереса можно вычислить и их:

Ответ: в экскурсии участвует 32 человека.