1.65 Алгоритм извлечения квадратного корня

Как работает алгоритм

Алгоритм извлечения квадратного корня основан на формуле квадрата суммы двух выражений:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Геометрически эту формулу можно представить так:

То есть сторона a увеличивается на b. Это приводит к увеличению изначального квадрата. Чтобы вычислить площадь такого квадрата, нужно по отдельности вычислить площади квадратов и прямоугольников, входящих в этот квадрат и сложить полученные результаты. Важно хорошо понимать данный рисунок. Без его понимания невозможно понять как работает алгоритм извлечения квадратного корня.

Отметим, что формула квадрата суммы двух выражений позволяет возвести в квадрат любое число. Используя разряды, исходное число представляют в виде суммы чисел и далее эту сумму возвóдят в квадрат.

Например, так можно возвести число 21 в квадрат: представить данное число в виде суммы двух десятков и одной единицы, и далее эту сумму возвести в квадрат :

21² = (20 + 1)² = 20² + 2 × 20 × 1 + 1² = 400 + 40 + 1 = 441

Геометрически это будет выглядеть так: сторона квадрата равная 21 разбивается на две составляющие: 20 и 1.

Затем по отдельности вычисляются площади квадратов и прямоугольников, входящих в большой квадрат. А именно: один квадрат со стороной 20 (получается площадь, равная 400), два прямоугольника со сторонами 20 и 1 (получается две площади по 20), один квадрат со стороной 1 (получается площадь, равная 1). Результаты вычисления площадей складываются и получается итоговое значение 441.

Заметим также, что при возведéнии десятков в квадрат получились сотни. В данном случае при возведéнии числа 20 в квадрат получилось число 400. Это позволяет предположить, что если корень является двузначным числом, то десятки этого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Действительно, . Десятки корня это цифра 2, является корнем числа 4, которое отвечает за сотни числа 441.

А при возведéнии сóтен в квадрат получаются десятки тысяч. Например, возведём в квадрат число 123, используя формулу квадрата суммы двух выражений. Число 123 это одна сотня, два десятка и три единицы:

123² = (100 + 20 + 3)²

При изучении многочленов мы выяснили, что если многочлен содержит более двух членов и возникла необходимость применить формулу квадрата суммы, то некоторые из членов можно взять в скобки, чтобы получилось выражение вида (a + b)²

Рассмотрим подробное извлечение квадратного корня из числа 4096. Заодно пройдёмся по основным этапам алгоритма извлечения квадратного корня, рассмотренного в предыдущей теме.

Допустим, что число 4096 это площадь следующего квадрата:

Извлечь корень из числа 4096 означает найти длину стороны данного квадрата:

Для начала узнáем из скольких цифр будет состоять корень. Ближáйшие от 4096 известные нам квадраты это 3600 и 4900. Между ними располагается квадрат 4096. Запишем это в виде неравенства:

Запишем каждое число под знáком корня:

Квадратные корни из чисел 3600 и 4900 нам известны. Это корни 60 и 70 соответственно:

Корни 60 и 70 являются двузначными числами. Если квадратный корень из числа 4096 располагается между числами 60 и 70, то этот корень тоже будет двузначным числом.

Двузначное число состоит из десятков и единиц. Это значит, что квадратный корень из числа 4096 можно представить в виде суммы a + b, где a — десятки корня, b — единицы корня. Сумма a + b во второй степени будет равна 4096

(a + b)² = 4096

Тогда сторона квадрата будет разбита на две составляющие: a и b

Перепишем в равенстве (a + b)² = 4096 левую часть в виде a² + 2ab + b²

a² + 2ab + b² = 4096

Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 4096, можно представить так:

Если мы узнáем значения переменных a и b, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.

Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет двузначное число. Двузначное число состоит из десятков и единиц. При возведéнии десятков в квадрат, получаются сотни. Тогда десятки искомого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. В подкоренном числе 40 сотен. Отделим их небольшой помéткой:

Извлечём корень из числа 40. Из числа 40 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых.

Ближáйший мéньший квадрат к числу 40 это 36. Извлечём корень из этого квадрата, получим 6. Тем сáмым полýчим первую цифру корня:

На самом деле корень извлечён не из числа 40, а из сорокá сотен. Метка, которая постáвлена после числа 40, отделяет разряды числа, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 40 это 4000.

Из 4000 как и из 40 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 4000. Но нужно принимать во внимание следующий момент. Десятки это числа с одним нулем на конце. Примеры:

10 — один десяток

30 — три десятка

120 — двенадцать десятков

При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа с двумя нулями на конце:

10² = 100

30² = 900

120² = 14400

Мы ищем десятки корня в сотнях числá 4096, то есть в числе 4000. Но нет такого числá с нулем на конце, вторая степень которого равна 4000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с двумя нулями на конце. Таковым является квадрат 3600. Корень следует извлекать из этого квадрата.

Вернемся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a² это тот самый квадрат 3600. Укажем вместо a² значение 3600

Теперь извлечём квадратный корень из квадрата 3600. Ранее мы говорили, что если число содержит уже знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь корень из этого числа. Для этого сначала следует извлечь корень из знакомого нам квадрата, а затем записать половину от количества нулей исходного числа:

Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 3600. Подпишем сторону a как 60

Но ранее в ответе мы написали не 60, а 6. Это является сокращённым вариантом. Число 6 в данном случае означает шесть десятков:

Итак, десятки корня найдены. Их шесть. Теперь нужно найти единицы корня. Единицы корня это длина оставшейся маленькой стороны квадрата, то есть значение переменной b.

Чтобы найти b, нужно из общего квадрата, площадь которого 4096 вычесть квадрат, площадь которого 3600. В результате останется фигура, площадь которой 4096 − 3600 = 496

На рисунке видно как из квадрата, площадь которого 4096 отделился квадрат, площадь которого 3600. Осталась фигура, площадь которой 496.

Именно поэтому в процессе применения алгоритма первая найденная цифра корня возводится в квадрат, чтобы результат возведения вычесть из сотен подкоренного выражения.

Так, из 40 сотен вычитаются 36 сотен, остаётся 4 сотни плюс сносятся девяносто шесть единиц. Эти четыре сотни и девяносто шесть единиц вместе образуют 496 единиц:

Оставшаяся фигура есть ни что иное как удвоенное произведение первого выражение a плюс квадрат второго выражения b

Сумма площадей 2ab + b² должна вмещаться в число 496. Запишем это в виде следующего равенства:

2ab + b² = 496

Значение a уже известно. Оно равно 60. Тогда равенство примет вид:

2 × 60 × b + b² = 496

120b + b² = 496

Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 496 или хотя близкой к этому числу. Поскольку b является единицами искомого корня, то значение b является однозначным числом. То есть значение b это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. В данном случае очевидно, что числом b является 4

120 × 4 + 4² = 496

480 + 16 = 496

496 = 496

Но для удобства поиска этой цифры, переменную b выносят за скобки. Вернёмся к выражению 120b + b² = 496 и вынесем b за скобки:

 b(120 + b) = 496

Теперь правую часть можно понимать так: к 120 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же сáмым b даст в результате 496.

Именно поэтому при использовании алгоритма, уже найденную цифру умножают на 2. Так, 6 мы умножили на 2 получили 12 и уже к 12 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же дописанную цифру, пытаясь получить остаток 496.

Но это опять же упрощённый вариант. На самом деле на 2 умножается не просто 6, а найденные десятки (в нашем случае число 60), получается число 120. Затем следует нахождение числá вида b(120 + b). То есть к 120 прибавляется число b, которое при перемножении с b даёт остаток 496.

Итак, b = 4. Тогда:

4(120 + 4) = 496

4 × 124 = 496

496 = 496

При подстановке числá 4 вместо b получается остаток 496. Это значит, что единицы корня найдены. Квадрат, площадь которого 4096, имеет сторону равную 60 + 4, то есть 64.

Если из общей площади вычесть 3600, затем 496, полýчим 0. Остаток, равный нулю, говорит о том, что решение завершено:

4096 − 3600 − 496 = 0

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 54756

Пусть число 54756 это площадь следующего квадрата:

Извлечь корень из числа 54756 означает найти длину стороны данного квадрата:

Пока неизвестно является ли квадратный корень из числа 54756 целым либо дробным числом. Узнáем для начала из скольких цифр будет состоять целый корень.

Число 54756 больше числá 10000, но меньше числá 90000

10000 < 54756 < 90000

Корни из 10000 и 90000 являются трёхзначными числами.

Тогда корень из 54756 тоже будет трёхзначным числом. А трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.

Квадратный корень из числа 54756 можно представить в виде суммы a + b + с, где a — сотни корня, b — десятки корня, с — единицы корня. Сумма a + b + с во второй степени будет равна 54756

(a + b + c)² = 54756

Тогда сторона квадрата будет разбита на три составляющие: a, b и c

Выполним в левой части равенства (a + b + c)² = 54756 возведéние в квадрат:

Тогда рисунок иллюстрирующий квадрат, площадью 54756 можно представить так:

Два прямоугольника площадью ab в приведённом ранее равенстве заменены на 2ab, а два прямоугольника площадью (a + b)c заменены на 2ac + 2bc, поскольку (a + b)c = ac + bc. Если повторить выражение ac + bc дважды, то полýчится 2ac + 2bc

2(ac + bc) = 2ac + 2bc

Если мы узнáем значения переменных a, b и c, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.

Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет трёхзначное число. Трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.

При возведéнии сотен в квадрат, получаются десятки тысяч. Тогда сотни искомого корня следует искать в десятках тысяч подкоренного числа. В подкоренном числе 5 десятков тысяч. Отделим их мéткой:

Извлечём корень из числа 5. Из числа 5 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых Ближáйший мéньший квадрат к 5 это 4. Извлечём корень из этого квадрата, получим 2. Тем самым полýчим первую цифру корня:

На самом деле корень извлечён не из числа 5, а из пяти десятков тысяч. Метка, которая поставлена после числá 5, отделяет разряды числá, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 5 это 50000.

Из 50000 как и 5 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 50000. Но нужно принимать во внимание, что сотни это числа с двумя нулями на конце. Примеры:

100 — одна сотня

500 — пять сотен

900 — девять сотен

При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа, у которых четыре нуля на конце:

100² = 10000

500² = 250000

900² = 810000

Мы ищем сотни корня в десятках тысяч числа 54756, то есть в числе 50000. Но нет такого числá с двумя нулями на конце, вторая степень которого равна 50000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с четырьмя нулями на конце. Таковым является квадрат 40000.

Вернёмся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a² это тот самый квадрат 40000. Укажем вместо a² значение 40000

Теперь извлечём корень из квадрата 40000

Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 40000. Подпишем сторону a как 200

Но ранее в ответе мы написали не 200, а 2. Это является сокращённым вариантом. Число 2 в данном случае означает две сотни:

Теперь вытаскиваем остаток. Из пяти десятков тысяч корень извлечён только из четырёх десятков тысяч. Значит в остатке остался один десяток тысяч. Вытащим его:

Опять же надо понимать, что 4 это 40000, а 1 это 10000. С помощью рисунка это можно пояснить так: квадрат, площадь которого 40000, вычитается от общего квадрата, площадь которого 54756. Остаётся фигура, площадь которой 54756 − 40000 = 14756

Теперь нужно найти десятки корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей ab + ab + b² (или 2ab + b²). В эту сумму будет входить один десяток тысяч, который остался в результате нахождения сóтен корня, удвоенное произведение сотен и десятков корня 2ab, а также десятки корня в квадрате b².

Десятки в квадрате составляют сотни. Поэтому десятки корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Под корнем сейчас 47 сотен. Снесём их к остатку 1, предварительно отделив их под корнем мéткой:

Один десяток тысяч это сто сотен, плюс снесено 47 сотен. Итого 100 + 47 = 147 сотен. В эти 147 сотен должна входить сумма 2ab + b²

2ab + b² = 14700

Переменная a уже известна, она равна 200. Подставим это значение в данное равенство:

2 × 200 × b + b² = 14700
 400b + b² = 14700

Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 14700 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку b является десятками искомого корня, то значение b является двузначным числом с одним нулём на конце. Такое число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки b

b(400 + b) = 14700

Теперь левую часть можно понимать так: к 400 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же самым b даст в результате 14700 или близкое к 14700 число, не превосходящее его. Подставим например 40

40(400 + 40) = 14700

17600 ≠ 14700

Получается 17600, которое превосходит число 14700. Значит число 40 не годится в качестве десятков корня. Проверим тогда число 30

30(400 + 30) = 14700

12900 ≤ 14700

Получилось число 12900, которое не превосходит 14700. Значит число 30 подходит в качестве десятков корня. Числа, расположенные между 30 до 40 проверять не нужно, поскольку сейчас нас интересуют только двузначные числа с одним нулем на конце:

Вернемся к нашему рисунку. Сторона b это десятки корня. Укажем вместо b найденные десятки 30. А квадрат, площадь которого b² это найденные десятки во второй степени, то есть число 900. Также укажем площади прямоугольников ab. Они равны произведению сотен корня на десятки корня, то есть 200 × 30 = 6000

Ранее в ответе мы написали не 30, а 3. Это является сокращённым вариантом. Число 3 в данном случае означают три десятка.

Теперь вытаскиваем остаток. В 147 сотен вместилось только 129 сотен. Значит в остатке осталось 147 − 129 = 18 сотен плюс сносим число 56 из подкоренного выражения. В результате образýется новый остаток 1856

С помощью рисунка это можно пояснить так: от фигуры, площадь которой 14756, вычитается площадь 12900. Остаётся фигура, площадь которой 14756 − 12900 = 1856

Теперь нужно найти единицы корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей 2(a + b)c + c². В эту сумму и должен входить последний остаток 1856

2(a + b)c + c² = 1856

Переменные a и b уже известны, они равны 200 и 30 соответственно. Подставим эти значения в данное равенство:

2(200 + 30)c + c² = 1856

 2 × 230c + c² = 1856

460c + c² = 1856

Теперь наша задача найти такое значение c, при котором левая часть станет равна 1856 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку c является единицами искомого корня, то значение с является однозначным числом. То есть значение с это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки с

с(460 + c) = 1856

Теперь левую часть можно понимать так: к 460 следует прибавить нéкоторое число с, которое при умножении с тем же сáмым с даст в результате 1856 или близкое к 1856 число, не превосходящее его. Подставим, например, число 4

4(460 + 4) = 1856

4 × 464 = 1856

1856 = 1856

Именно поэтому при использовании алгоритма первые найденные цифры умножают на 2. Так, 23 мы умнóжили на 2, получили 46 и уже к 46 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру, пытаясь получить остаток 1856

Итак, с = 4. При подстановке вместо с числá 4 получается остаток 1856. Это значит, что единицы корня найдены.

Квадрат, площадь которого 54756, имеет сторону равную 200 + 30 + 4, то есть 234.

Если из общей площади 54756 вычесть 40000, 6000, 6000, 900, 920, 920 и 16, то получим 0. Остаток равный нулю говорит о том, что решение завершено:

54756 − 40000 − 6000 − 6000 − 900 − 920 − 920 − 16 = 0

Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 3

Квадратный корень из числа 3 не извлекается. Ранее мы говорили, что квадратные корни из таких чисел можно извлекать только приближённо с определенной точностью.

Пусть 3 это площадь следующего квадрата:

Извлечь корень из числа 3 значит найти длину стороны данного квадрата:

Корень из 3 больше корня из 1, но меньше корня из 4

√1 < √3 < √4

Корни из 1 и 4 являются целыми числами.

√1 < √3 < √4

1 < √3 < 2

Между числами 1 и 2 нет целых чисел. Значит корень из числа 3 будет десятичной дробью. Найдём этот корень с точностью до десятых.

Квадратный корень из числа 3 можно представить в виде суммы a + b, где a — целая часть корня, b — дробная часть. Тогда сторону квадрата можно разбить на две составляющие: a и b

Сумма a + b во второй степени должна приближённо равняться 3.

(a + b)² ≈ 3

Выполним в левой части данного равенства возведéние в квадрат:

a² + 2ab + b² ≈ 3

Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 3, можно представить так:

Найдём a. Извлечём корень из числа 3 с точностью до целых, получим 1

Если a² это 1, а площадь всего квадрата равна 3, то в остатке останется 2. В этот остаток должна вмещаться площадь оставшейся фигуры:

Найдём b. Для этого рассмотрим сумму площадей 2ab + b². Эта сумма должна приближённо равняться остатку 2, но не превосходить его

2ab + b² ≈ 2

Значение a уже известно, оно равно единице:

2b + b² ≈ 2

Вынесем за скобки b

b(2 + b) ≈ 2

Теперь в левой части к 2 следует прибавить нéкоторое число b, которое при умножении с тем же b будет приближённо равняться 2.

Значение b является дробным числом, а именно десятой частью. Оно равно какому-нибудь числу из промежутка [0,1; 0,9]. Возьмём любое число из этого промежутка и подставим его в равенство. Подставим к примеру 0,8

0,8(2 + 0,8) ≈ 2

2,24 ≈ 2

Получилось 2,24 которое превосходит 2. Значит 0,8 не годится в качестве значения b. Проверим тогда 0,7

0,7(2 + 0,7) ≈ 2

1,89 ≈ 2

Получилось 1,89 которое приближённо равно 2 и не превосходит его. Значит 0,7 является значением b

Значит квадратный корень из 3 с точностью до десятых приближённо равен 1 + 0,7

К сожалению, понять механизм алгоритма извлечения квадратного корня намного сложнее, чем использовать сам алгоритм. Решите несколько примеров на применение алгоритма, и понимание механизма его работы будет даваться вам значительно проще.