Примеры решения квадратных уравнений
Пример 1. Решить уравнение x2 = 81
Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:
Ответ: 9, −9.
Пример 2. Решить уравнение x2 − 9 = 0
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:
Ответ: 3, −3.
Пример 3. Решить уравнение x2 − 9x = 0
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:
Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.
Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:
Ответ: 0, 9.
Пример 4. Решить уравнение x2 + 4x − 5 = 0
Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.
Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:
D = b2 − 4ac = 42 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:
Ответ: 1, −5.
Пример 5. Решить уравнение 
Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:
В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:
Приведём подобные члены:
Решим получившееся уравнение с помощью формул:
Ответ: 5, 
.
Пример 6. Решить уравнение x2 = 6
В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:
Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:
Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:
Ответ: 
Пример 7. Решить уравнение (2x + 3)2 + (x − 2)2 = 13
Раскроем скобки в левой части уравнения:
В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:
Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:
Ответ: 0, −1,6.
Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0
Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.
Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.
Раскроем скобки:
Приведём подобные члены:
Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:
Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:
Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:
Второй способ. Найти значения x, при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:
