Как происходит вынесение общего множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобки по сути является обратной операцией внесению общего множителя во внутрь скобок.
Если при внесении общего множителя внутрь скобок, мы умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках, то при вынесении этого множителя обратно за скобки, мы должны разделить каждое слагаемое в скобках на этот множитель.
В выражении 3 × 4 + 3 × 5, которое было рассмотрено выше, так и происходило. Каждое слагаемое было разделено на общий множитель 3. Произведения 3 × 4 и 3 × 5 и являются слагаемыми, поскольку если их вычислить, мы получим сумму 12 + 15
Теперь мы можем детально увидеть, как происходит вынесение общего множителя за скобки:
Видно, что общий множитель 3 сначала вынесен за скобки, затем в скобках происходит деление каждого слагаемого на этот общий множитель.
Деление каждого слагаемого на общий множитель можно выполнять не только разделяя числитель на знаменатель, как это было показано выше, но и сокращая эти дроби. В обоих случаях получится один и тот же результат:
Мы рассмотрели простейший пример вынесения общего множителя за скобки, чтобы понять основной принцип.
Но не всё так просто, как кажется на первый взгляд. После того, как число умножено на каждое слагаемое в скобках, полученные результаты складывают, и общий множитель пропадает из виду.
Вернёмся к нашему примеру 3(4 + 5). Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число 3 на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15
После того, как вычислена конструкция 3 × 4 + 3 × 5, мы получаем новое выражение 12 + 15. Видим, что общий множитель 3 пропал из виду. Теперь в полученном выражении 12 + 15 попробуем обратно вынести общий множитель за скобки, но чтобы вынести этот общий множитель его сначала нужно найти.
Обычно при решении задач встречаются именно такие выражения, в которых общий множитель сначала нужно найти, прежде чем его выносить.
Чтобы в выражении 12 + 15 вынести общий множитель за скобки, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) слагаемых 12 и 15. Найденный НОД и будет общим множителем.
Итак, найдём НОД слагаемых 12 и 15. Напомним, что для нахождения НОД необходимо разложить исходные числа на простые множители, затем выписать первое разложение и убрать из него множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся множители нужно перемножить и получить искомый НОД. Если испытываете затруднения на этом моменте, обязательно повторите этот урок.
НОД слагаемых 12 и 15 это число 3. Данное число является общим множителем слагаемых 12 и 15. Его и нужно выносить за скобки. Для этого сначала записываем сам множитель 3 и рядом в скобках записываем новое выражение, в котором каждое слагаемое выражения 12 + 15 разделено на общий множитель 3
Ну и дальнейшее вычисление не составляет особого труда. Выражение в скобках легко вычисляется — двенадцать разделить на три будет четыре, а пятнадцать разделить на три будет пять:
Таким образом, при вынесении общего множителя за скобки в выражении 12 + 15 получается выражение 3(4 + 5). Подробное решение выглядит следующим образом:
В коротком решении пропускают запись в которой показано, как каждое слагаемое разделено на общий множитель:
Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в выражении 15 + 20
Наибольший общий делитель слагаемых 15 и 20 это число 5. Данное число является общим множителем слагаемых 15 и 20. Его и вынесем за скобки:
Получили выражение 5(3 + 4).
Получившееся выражение 5(3 + 4) можно проверить. Для этого достаточно умножить пятёрку на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 15 + 20
Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении 18 + 24 + 36
Найдём НОД слагаемых 18, 24 и 36. Чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно разложить эти числа на простые множители, затем найти произведение общих множителей:
НОД слагаемых 18, 24 и 36 это число 6. Данное число является общим множителем слагаемых 18, 24 и 36. Его и вынесем за скобки:
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 18 + 24 + 36
Пример 4. Вынести общий множитель за скобки в выражении 13 + 5
Слагаемые 13 и 5 являются простыми числами. Они раскладываются только на единицу и самих себя:
Это значит, что у слагаемых 13 и 5 нет общих множителей, кроме единицы. Соответственно, нет смысла выносить эту единицу за скобки, поскольку это ничего не даст. Покажем это:
Пример 5. Вынести общий множитель за скобки в выражении 195 + 156 + 260
Найдём НОД слагаемых 195, 156 и 260
НОД слагаемых 195, 156 и 260 это число 13. Данное число является общим множителем для слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 13 на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 195 + 156 + 260
Выражение, в котором требуется вынести общий множитель за скобки, может быть не только суммой чисел, но и разностью. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении 16 − 12 − 4. Наибольшим общим делителем чисел 16, 12 и 4 это число 4. Данное число и вынесем за скобки:
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим четвёрку на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 16 − 12 − 4
Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в выражении 72 + 96 − 120
Найдём НОД чисел 72, 96 и 120
НОД для 72, 96 и 120 это число 24. Данное число является общим множителем слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 24 на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 72+96−120
Общий множитель, выносимый за скобки, может быть и отрицательным. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении −6 − 3. Вынести общий множитель за скобки в таком выражении можно двумя способами. Рассмотрим каждый из них.
Способ 1.
Заменим вычитание сложением:
−6 + (−3)
Теперь находим общий множитель. Общим множителем данного выражения будет наибольший общий делитель модулей слагаемых −6 и −3.
Модуль первого слагаемого это 6. А модуль второго слагаемого это 3. НОД(6 и 3) равен 3. Данное число является общим множителем слагаемых 6 и 3. Его и вынесем за скобки:
Выражение полученное таким способом получилось не очень аккуратным. Много скобок и отрицательных чисел не придают выражению простоту. Поэтому можно воспользоваться вторым способом, суть которого заключается в том, чтобы вынести за скобки не 3, а −3.
Способ 2.
Как и в прошлый раз заменяем вычитание сложением
−6 + (−3)
В этот раз мы вынесем за скобки не 3, а −3
Выражение полученное в этот раз выглядит намного проще. Запишем решение покороче, чтобы сделать его ещё проще:
Разрешать выносить отрицательный множитель за скобки связано с тем, что разложение чисел −6 и (−3) можно записать двумя видами: сначала сделать множимое отрицательным, а множитель положительным:
−6 = −2 × 3
−3 = −1 × 3
во втором случае множимое можно сделать положительным, а множитель отрицательным:
−6 = 2 × (−3)
−3 = 1 × (−3)
А значит мы вольны выносить за скобки тот сомножитель, который захотим.
Пример 8. Вынести общий множитель за скобки в выражении −20 − 16 − 2
Заменим вычитание сложением
−20 − 16 − 2 = −20 + (−16) + (−2)
Наибольшим общим делителем слагаемых −20, −16 и −2 является число 2. Это число является общим множителем этих слагаемых. Посмотрим, как это выглядит:
−20 = −10 × 2
−16 = −8 × 2
−2 = −1 × 2
Но приведенные разложения можно заменить на тождественно равные разложения. Различие будет в том, что общим множителем будет не 2, а −2
−20 = 10 × (−2)
−16 = 8 × (−2)
−2 = 1 × (−2)
Поэтому для удобства за скобки можно вынести не 2, а −2
Запишем приведенное решение покороче:
А если бы мы вынесли за скобки 2, то получилось бы не совсем аккуратное выражение:
Пример 9. Вынести общий множитель за скобки в выражении −30 − 36 − 42
Заменим вычитание сложением:
−30 + (−36) + (−42)
Наибольшим общим делителем слагаемых −30, −36 и −42 это число 6. Данное число является общим множителем для этих слагаемых. Но за скобки мы вынесем не 6, а −6 поскольку числа −30, −36 и −42 можно представить так:
−30 = 5 × (−6)
−36 = 6 × (−6)
−42 = 7 × (−6)
