1.50 Решение задач с помощью пропорции

Отношение одноименных величин

Если крайние или средние члены пропорции поменять местами, то пропорция не нарушится.

Так, в пропорции 1600 на 1 как 32000 на 20 масштаб для строк можно поменять местами крайние члены. Тогда получится пропорция пропорция 20 к 1 как 32000 к 1600.

Пропорция также не нарушится, если её перевернуть, то есть использовать обратные отношения в обеих частях.

Перевернем пропорцию пропорция 20 к 1 как 32000 к 1600. Тогда получим пропорцию пропорция 1 к 20 как 1600 к 32000. Взаимосвязь при этом не нарушается. Отношение между студентами равно отношению между суммами денег, предназначенных для этих студентов. Такую пропорцию часто составляют в школе, когда для решения задачи составляются таблицы

таблица к пропорции 1 к 20 как 1600 к 32000

Этот способ записи очень удобен, поскольку позволяет перевести условие задачи в более понятный вид. Решим задачу в которой требовалось определить сколько рублей нужно для выплаты стипендии двадцати студентам.

Условие задачи запишем следующим образом:

условие задачи 1 к 20 как 1600 к 32000

Составим таблицу на основе этого условия:

таблица к пропорции 1 к 20 как 1600 к x

Составим пропорцию, используя данные таблицы:

пропорция 1 к 20 как 1600 к x

Используя основное свойство пропорции, получим линейное уравнение и найдем его корень:

пропорция 1 к 20 как 1600 к x решение

Изначально, мы имели дело с пропорцией 1600 на 1 как 32000 на 20 масштаб для строк, которая составлена из отношений величин разной природы. В числителях отношений располагались суммы денег, а в знаменателях количество студентов:

рисунок 2 пропорция 1600 к 1 как 32000 к 20

Поменяв местами крайние члены, мы получили пропорцию пропорция 20 к 1 как 32000 к 1600. Эта пропорция составлена из отношений величин одной природы. В первом отношении содержатся количества студентов, а во втором — суммы денег:

рисунок 2 пропорция 20 к 1 как 32000 к 1600

Если отношение составлено из величин одной природы, то мы будем называть его отношением одноименных величин. Например, отношения между фруктами, деньгами, физическими величинами, явлениями, действиями.

Отношение может быть составлено, как из одноименных величин, так и из величин разной природы. Примерами последних являются отношение расстояния ко времени, отношения стоимости товара к его количеству, отношение общей суммы стипендии к количеству студентов.

Пример 2. В школьном саду посажены сосны и березы, причём на каждую сосну приходится 2 березы. Сколько посадили сосен в саду, если берез посадили 240?

Определим сколько сосен было посажено в саду. Для этого составим пропорцию. В условии сказано, что на каждую сосну приходится 2 березы. Напишем отношение, показывающее что на одну сосну приходится две березы:

две первых

Теперь напишем второе отношение, показывающее что на x сосен приходится 240 берез

240 na x

Соединим эти отношения знаком равенства, получим следующую пропорцию:

пропорция 2 к 1 как 240 к x

«2 березы так относятся к одной сосне,
как 240 берез относятся к x соснам»

Используя основное свойство пропорции, находим значение x

пропорция к задаче 1 к 20 как 1600 к 32000 решение 1

Либо пропорцию можно составить, предварительно записав условие, как в прошлом примере:

условие задачи 1 к 20 как 1600 к 32000 условие 2

Получится та же пропорция, но в этот раз она будет составлена из отношений одноименных величин:

пропорция к задаче 1 к 20 как 1600 к 32000 условие 2

Значит в саду посадили 120 сосен.

Пример 3. Из 225 кг руды получили 34,2 кг меди. Каково процентное содержание меди в руде?

картинка к задаче нахождение процентного соотношения меди

Можно разделить 34,2 на 225 и полученный результат выразить в процентах:

решение 1 к задаче нахождение процентного соотношения меди

Либо составить пропорцию 225 килограммам руды так приходятся на 100%, как 34,2 кг меди приходятся на неизвестное число процентов:

225на100 равно 342на x решение

Либо составить пропорцию в которой отношения составлены из одноименных величин:

условие задачи 225 к 34 2 как 100 к x

решение 2 задачи 225 к 34 2 как 100 к x

Основы математики