Когда решений бесконечно много
Существуют неравенства, имеющие бесчисленное множество решений. Такие неравенства становятся верными при любом x.
Пример 1. Решить неравенство 5(3x − 9) < 15x
Раскроем скобки в правой части неравенства:
Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:
Приведем подобные слагаемые в левой части:
Получили неравенство 0x < 45. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль меньше, чем 45. Значит решением неравенства 0x < 45 является любое число.
А если приведённое равносильное неравенство 0x < 45 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3x − 9) < 15x имеет те же решения.
Ответ можно записать в виде числового промежутка:
x ∈ ( −∞; +∞ )
В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3x − 9) < 15x являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Пример 2. Решить неравенство: 31(2x + 1) − 12x > 50x
Раскроем скобки в левой части неравенства:
Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:
Приведём подобные слагаемые:
Получили неравенство 0x > −31. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль больше, чем −31. Значит решением неравенства 0x < −31 является любое число.
А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2x + 1) − 12x > 50x имеет те же решения.
Запишем ответ в виде числового промежутка:
x ∈ ( −∞; +∞ )