Примеры решения неравенств
Неравенство, которое путём тождественных преобразований можно привести к виду ax > b (или к виду ax < b), будем называть линейным неравенством с одной переменной.
В линейном неравенстве ax > b, x — это переменная, значения которой нужно найти, а — коэффициент этой переменной, b — граница неравенства, которая в зависимости от знака неравенства может принадлежать множеству его решений либо не принадлежать ему.
Например, неравенство 2x > 4 является неравенством вида ax > b. В нём роль переменной a играет число 2, роль переменной b (границы неравенства) играет число 4.
Неравенство 2x > 4 можно сделать ещё проще. Если мы разделим обе его части на 2, то получим неравенство x > 2
Получившееся неравенство x > 2 также является неравенством вида ax > b, то есть линейным неравенством с одной переменной. В этом неравенстве роль переменной a играет единица. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 не записывают. Роль переменной b играет число 2.
Отталкиваясь от этих сведений, попробуем решить несколько простых неравенств. В ходе решения мы будем выполнять элементарные тождественные преобразования с целью получить неравенство вида ax > b
Пример 1. Решить неравенство x − 7 < 0
Прибавим к обеим частям неравенства число 7
x − 7 + 7 < 0 + 7
В левой части останется x, а правая часть станет равна 7
x < 7
Путём элементарных преобразований мы привели неравенство x − 7 < 0 к равносильному неравенству x < 7. Решениями неравенства x < 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.
Когда неравенство приведено к виду x < a (или x > a), его можно считать уже решённым. Наше неравенство x − 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x < 7. Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.
Запишем ответ с помощью числового промежутка. В данном случае ответом будет открытый числовой луч (вспоминаем, что числовой луч задаётся неравенством x < a и обозначается как ( −∞ ; a)
x ∈ ( −∞ ; 7 )
На координатной прямой граница 7 будет изображаться в виде пустого кружка, а вся область, находящаяся слева от границы, будет выделена штрихами:
Для проверки возьмём любое число из промежутка ( −∞ ; 7 ) и подставим его в неравенство x < 7 вместо переменной x. Возьмём, например, число 2
2 < 7
Получилось верное числовое неравенство, значит и решение верное. Возьмём ещё какое-нибудь число, например, число 4
4 < 7
Получилось верное числовое неравенство. Значит решение верное.
А поскольку неравенство x < 7 равносильно исходному неравенству x − 7 < 0, то решения неравенства x < 7 будут совпадать с решениями неравенства x − 7 < 0. Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x − 7 < 0
2 − 7 < 0
−5 < 0 — Верное неравенство
4 − 7 < 0
−3 < 0 Верное неравенство
Пример 2. Решить неравенство −4x < −16
Разделим обе части неравенства на −4. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
Мы привели неравенство −4x < −16 к равносильному неравенству x > 4. Решениями неравенства x > 4 будут все числа, которые больше 4. Граница 4 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.
Изобразим множество решений неравенства x > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 3. Решить неравенство 3y + 1 > 1 + 6y
Перенесём 6y из правой части в левую часть, изменив знак. А 1 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знак:
3y − 6y> 1 − 1
Приведём подобные слагаемые:
−3y > 0
Разделим обе части на −3. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
Решениями неравенства y < 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y < 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 4. Решить неравенство 5(x − 1) + 7 ≤ 1 − 3(x + 2)
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:
Приведем подобные слагаемые:
Разделим обе части получившегося неравенства на 8
Решениями неравенства 
являются все числа, которые меньше 
. Граница принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 5. Решить неравенство 
Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:
Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:
После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 6x > 1. Разделим обе части этого неравенства на 6. Тогда получим:
Решениями неравенства 
являются все числа, которые больше 
. Граница не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является строгим.
Изобразим множество решений неравенства на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 6. Решить неравенство 
Умножим обе части на 6
После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 5x < 30. Разделим обе части этого неравенства на 5
Решениями неравенства x < 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x < 6 строгим.
Изобразим множество решений неравенства x < 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 7. Решить неравенство 
Умножим обе части неравенства на 10
В получившемся неравенстве раскроем скобки в левой части:
Перенесем члены без x в правую часть
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Разделим обе части получившегося неравенства на 10
Решениями неравенства x ≤ 3,5 являются все числа, которые меньше 3,5. Граница 3,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x ≤ 3,5 нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства x ≤ 3,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 8. Решить неравенство 4 < 4x < 20
Чтобы решить такое неравенство, нужно переменную x освободить от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать в каком промежутке находится решение данного неравенства.
Чтобы освободить переменную x от коэффициента, можно разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах таково, что если мы делим член неравенства на какое-нибудь число, то тоже самое надо сделать и с остальными членами, входящими в данное неравенство. В нашем случае на 4 нужно разделить все три члена неравенства 4 < 4x < 20
Решениями неравенства 1 < x < 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x < 5 является строгим.
Изобразим множество решений неравенства 1 < x < 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 9. Решить неравенство −1 ≤ −2x ≤ 0
Разделим все члены неравенства на −2
Получили неравенство 0,5 ≥ x ≥ 0. Двойное неравенство желательно записывать так, чтобы меньший член располагался слева, а больший справа. Поэтому перепишем наше неравенство следующим образом:
0 ≤ x ≤ 0,5
Решениями неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 0 ≤ x ≤ 0,5 является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 10. Решить неравенство 
Умножим обе неравенства на 12
Раскроем скобки в получившемся неравенстве и приведем подобные слагаемые:
Разделим обе части получившегося неравенства на 2
Решениями неравенства x ≤ −0,5 являются все числа, которые меньше −0,5. Граница −0,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ −0,5 является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства x ≤ −0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 11. Решить неравенство 
Умножим все части неравенства на 3
Теперь из каждой части получившегося неравенства вычтем 6
Каждую часть получившегося неравенства разделим на −1. Не забываем, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 3 ≤ a ≤ 9 является нестрогим.
Изобразим множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
