Возведение двучлена в степень
Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов. В прошлых уроках мы возводили двучлен во вторую и третью степень, тем самым получили формулы сокращенного умножения:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Но двучлен можно возводить не только во вторую и третью степень, но и в четвёртую, пятую или более высокую степень.
К примеру, возведём двучлен a + b в четвертую степень:
(a + b)4
Представим это выражение в виде произведения двучлена a + b и куба этого же двучлена
(a + b)(a + b)3
Сомножитель (a + b)3 можно заменить на правую часть формулы куба суммы двух выражений. Тогда получим:
(a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)
А это обычное перемножение многочленов. Выполним его:
То есть при возведении двучлена a + b в четвертую степень получается многочлен a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Возведение двучлена a + b в четвертую степень можно выполнить ещё и так: представить выражение (a + b)4 в виде произведения степеней (a + b)2(a + b)2
(a + b)2(a + b)2
Но выражение (a + b)2 равно a2 + 2ab + b2. Заменим в выражении (a + b)2(a + b)2 квадраты суммы на многочлен a2 + 2ab + b2
(a2 + 2ab + b2)(a2 + 2ab + b2)
А это опять же обычное перемножение многочленов. Выполним его. У нас получится тот же результат, что и раньше:
