Подобные слагаемые
Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.
Например, рассмотрим выражение 7a + 6b + 2a. Слагаемые 7a и 2a имеют одинаковую буквенную часть – переменную a. Значит слагаемые 7a и 2a являются подобными.
Подобные слагаемые складывают, чтобы упростить выражение или решить уравнение. Это действие называют приведéнием подобных слагаемых.
Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты этих слагаемых, и полученный результат умножить на общую буквенную часть.
Например, приведём подобные слагаемые в выражении 3a + 4a + 5a. В данном случае подобными являются все слагаемые. Слóжим их коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть – на переменную a
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5) × a = 12a
Подобные слагаемые принято приводить в уме и результат записывать сразу
3a + 4a + 5a = 12a
Ещё можно рассуждать так:
“Было 3 переменные a, к ним прибавили еще 4 переменные a и ещё 5 переменных a. В итоге получили 12 переменных a“
Если подсчитать на рисунке количество переменных a, то насчитается 12.
Рассмотрим несколько примеров на приведение подобных слагаемых. Учитывая, что данная тема очень важна, на первых порах будем записывать подробно каждую мелочь. Несмотря на то что здесь всё просто, большинство людей допускают ошибки. В основном по невнимательности, а не по незнанию.
Пример 1. Привести подобные слагаемые в выражении 3a + 2a + 6a + 8a
Сложим коэффициенты и полученный результат умножим на общую буквенную часть
3a + 2a + 6a + 8a= (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
Конструкцию (3 + 2 + 6 + 8) × a можно не записывать, поэтому сразу запишем ответ
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Пример 2. Привести подобные слагаемые в выражении 2a + a
Второе слагаемое a записано без коэффициента, значит перед ним располагается единица как было сказано ранее. Стало быть, выражение выглядит так:
2a + 1a
Теперь приведем подобные слагаемые. Слóжим коэффициенты и результат умнóжим на общую буквенную часть:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Запишем решение покороче:
2a + a = 3a
Приводя подобные слагаемые в выражении 2a + a, можно рассуждать и так:
“Было 2 переменные a, добавили ещё одну переменную a, в итоге получилось 3 переменные a“
Пример 3. Привести подобные слагаемые в выражении 2a − a
Заменим вычитание сложением:
2a + (−a)
Коэффициентом второго слагаемого (−a) является −1 Стало быть, выражение выглядит так:
2a + (−1a)
Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Запишем покороче:
2a − a = a
Приводя подобные слагаемые в выражении 2a−a можно рассуждать так:
“Было 2 переменные a, вычли одну переменную a, в итоге осталась одна единственная переменная a“
Пример 4. Привести подобные слагаемые в выражении 6a − 3a + 4a − 8a
Заменим вычитание сложение там, где это можно:
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Запишем решение покороче:
6a − 3a + 4a − 8a = −a
Встречаются выражения, которые содержат несколько различных групп подобных слагаемых. Например, 3a + 3b + 7a + 2b. Для таких выражений справедливы те же правила, что и для остальных – складывание коэффициентов и умножение полученного результата на общую буквенную часть. Но чтобы не допустить ошибок, разные группы слагаемых подчеркивают разными линиями.
Например, в выражении 3a + 3b + 7a + 2b те слагаемые, которые содержат переменную a, можно подчеркнуть одной линией, а слагаемые которые содержат переменную b – подчеркнуть двумя линиями:
Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Сделать это нужно для обеих групп слагаемых: для слагаемых, содержащих переменную a и для слагаемых содержащих переменную b.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7) × a + (3 + 2) × b = 10a + 5b
Опять же повторимся, примеры несложные, и подобные слагаемые можно приводить в уме:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Пример 5. Привести подобные слагаемые в выражении 5a − 6a −7b + b
Заменим вычитание сложение там, где это можно:
5a − 6a − 7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Подчеркнём подобные слагаемые разными линиями. Слагаемые, содержащие переменные a подчеркнём одной линией, а слагаемые содержащие переменные b – двумя линиями:
Теперь слóжим коэффициенты и полученный результат умнóжим на общую буквенную часть:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6)) × a + ((−7) + 1) × b = −a + (−6b)
Если в выражении содержатся привычные для нас числа без буквенных сомножителей, то их складывают отдельно. В следующем примере показано это.
Пример 6. Привести подобные слагаемые в выражении 4a + 3a − 5 + 2b + 7
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Приведем подобные слагаемые. Числа −5 и 7 не имеют буквенных сомножителей, но они являются подобными слагаемыми – их необходимо сложить. А слагаемое 2b останется без изменений, поскольку оно единственное в данном выражении, имеющее буквенный сомножитель b, и его не с чем складывать:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3) × a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Запишем решение покороче:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Слагаемые можно упорядочивать, чтобы те слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, располагались в одной части выражения. В следующем примере показано это.
Пример 7. Привести подобные слагаемые в выражении 5t + 2x + 3x + 5t + x
Поскольку выражение является суммой из нескольких слагаемых, это позволяет нам вычислять его в любом порядке. Поэтому слагаемые, содержащие переменную t, можно записать в начале выражения, а слагаемые содержащие переменную x в конце выражения:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Теперь можно привести подобные слагаемые:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5 + 5) × t + (2 + 3 + 1) × x = 10t + 6x
Запишем решение покороче:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Сумма противоположных чисел равна нулю. Это правило работает и для буквенных выражений. Если в выражении встретятся одинаковые слагаемые, но с противоположными знаками, то от них можно избавиться на этапе приведения подобных слагаемых. Иными словами, просто вычеркнуть их из выражения, поскольку их сумма равна нулю.
Пример 8. Привести подобные слагаемые в выражении 3t − 4t − 3t + 2t
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Слагаемые 3t и (−3t) являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю. Если убрать этот ноль из выражения, то значение выражения не изменится, поэтому мы его и уберём. А уберём мы его обычным вычеркиванием слагаемых 3t и (−3t)
В результате останется выражение (−4t) + 2t. В данном выражении можно привести подобные слагаемые и получить окончательный ответ:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2) × t = −2t
Запишем решение покороче:
