Упрощение выражений
Часто можно встретить задание, в котором сказано “упростите выражение” и далее приводится выражение, которое нужно упростить. Упростить выражение значит сделать его прóще и корóче.
На самом деле мы уже занимались упрощением выражений, когда сокращали дроби. После сокращения дробь становилась короче и проще для восприятия.
Рассмотрим следующий пример. Упростить выражение 
.
Это задание буквально можно понять так: “Примените к данному выражению любые допустимые действия, но сделайте его прóще”.
В данном случае можно осуществить сокращение дроби, а именно разделить числитель и знаменатель дроби на 2:
Что ещё можно сделать? Можно вычислить полученную дробь 
. Тогда мы получим десятичную дробь 0,5
В результате дробь упростилась до 0,5.
Первый вопрос, который нужно себе задавать при решении подобных задач, должен быть: “а что можно сделать?”. Потому что есть действия, которые можно делать, и есть действия, которые делать нельзя.
Ещё один важный момент заключается в том, что значение выражение не должно измениться после упрощения выражения.
Вернёмся к выражению . Данное выражение представляет собой деление, которое можно выполнить. Выполнив это деление, мы получаем значение данного выражения, которое равно 0,5
Мы упростили выражение и получили новое выражение . Значение нового упрощённого выражения по-прежнему равно 0,5
Но выражение мы тоже попытались упростить, вычислив его. В итоге получили окончательный ответ 0,5.
Таким образом, как бы мы не упрощали выражение, значение получаемых выражений по-прежнему было равно 0,5. Значит упрощение выполнялось правильно на каждом этапе. Именно к этому нужно стремиться при упрощении выражений – значение выражения не должно пострадать от наших действий.
Часто требуется упрощать буквенные выражения. Для них справедливы те же правила упрощения, что и для числовых выражений. Можно выполнять любые допустимые действия, лишь бы не изменилось значение выражения.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Упростить выражение 5,21s × t × 2,5
Чтобы упростить данное выражение, можно отдельно перемножить числа и буквы по отдельности. Это задание похоже на то, которое мы рассматривали, когда учились определять коэффициент:
5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st
Таким образом, выражение 5,21s × t × 2,5 упростилось до 13,025st.
Пример 2. Упростить выражение −0,4 × (−6,3b) × 2
Второе произведение (−6,3b) можно записать в понятном для нас виде, а именно как (−6,3) × b, затем отдельно перемножить числа и буквы по отдельности:
−0,4 × (−6,3b) × 2 = −0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Таким образом, выражение −0,4 × (−6,3b) × 2 упростилось до 5,04b
Пример 3. Упростить выражение 
Запишем данное выражение более развёрнуто, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:
Теперь перемножим числа и буквы по отдельности:
Таким образом, выражение упростилось до −abc.
Решение можно записать покороче:
При упрощении выражений, дроби можно сокращать в процессе решения.
Например, если в ходе решения мы наткнёмся на выражение вида 
, то вовсе необязательно вычислять числитель и знаменатель, а затем расписывать вот так подробное сокращение:
Дробь можно сократить, выбирая по множителю в числителе и в знаменателе и сокращать эти множители на их наибольший общий делитель. Другими словами, использовать короткую версию сокращения дроби, в которой мы не расписываем подробно на что был разделен числитель и знаменатель.
Например, в числителе множитель 12 и в знаменателе множитель 4 можно сократить на 4. Четвёрку храним в уме, а разделив 12 и 4 на эту четвёрку, ответы записываем рядом с этими числами, предварительно зачеркнув их
Далее в числителе множитель 9 и в знаменателе множитель 3 можно сократить на 3
Далее в числителе множитель 6 и в знаменателе множитель 2 можно сократить на 2
Теперь можно перемножить получившиеся маленькие множители. В данном случае их немного и можно перемножить в уме:
Со временем можно увидеть, что решая ту или иную задачу, выражения начинают “толстеть”, поэтому желательно приучиться к быстрым вычислениям. То что можно вычислить в уме, нужно вычислять в уме. А то что можно быстро сократить, нужно быстро сокращать.
Пример 4. Упростить выражение 
Перемножим числа и буквы по отдельности
Таким образом, выражение упростилось до 
Пример 5. Упростить выражение 
Перемножим числа и буквы по отдельности
Таким образом, выражение упростилось до mn.
Пример 6. Упростить выражение 
Запишем данное выражение более развёрнуто, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы
Теперь перемножим числа и буквы по отдельности. Для удобства вычислений десятичную дробь −6,4 и смешанное число 
можно перевести в обыкновенные дроби
Таким образом, выражение упростилось до 
Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет так:
Пример 7. Упростить выражение 
Перемножим отдельно числа и отдельно буквы. Для удобства вычисления смешанное число 
и десятичные дроби 0,1 и 0,6 можно перевести в обыкновенные дроби:
Таким образом, выражение упростилось до abcd. Если пропустить подробности, то данное решение можно записать покороче:
Обратите внимание на то, как сократилась дробь. Новые множители, которые получаются в результате сокращения предыдущих множителей, тоже допускается сокращать.
Теперь поговорим о том, чего делать нельзя. При упрощении выражений категорически нельзя перемножать числа и буквы, если выражение является суммой, а не произведением.
Например, если требуется упростить выражение 5a + 4b, то вот так записывать нельзя:
Это равносильно тому, что если бы нас попросили сложить два числа, а мы бы их перемножали вместо того, чтобы складывать.
При подстановке любых значений переменных a и b выражение 5a + 4b обращается в обыкновенное числовое выражение. Предположим, что переменные a и b имеют следующие значения:
a = 2, b = 3
Тогда значение выражения будет равно 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Сначала выполняется умножение, а затем полученные результаты складывают. А если бы мы попытались упростить данное выражение, перемножив числа и буквы, то получилось бы следующее:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Получается совсем другое значение выражения. В первом случае получилось 22, во втором случае 120. Это означает, что упрощение выражения 5a + 4b было выполнено неправильно.
После упрощения выражения, его значение не должно изменяться при одних и тех же значениях переменных. Если при подстановке в изначальное выражение любых значений переменных получается одно значение, то после упрощения выражения должно получаться то же самое значение, что и до упрощения.
С выражением 5a + 4b на самом деле ничего делать нельзя. Оно не упрощается.
Если в выражении содержатся подобные слагаемые, то их можно сложить, если целью является упрощение выражения.
Пример 8. Упростить выражение 0,3a − 0,4a + a
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1) × a = 0,9a
или покороче: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a
Таким образом, выражение 0,3a − 0,4a + a упростилось до 0,9a
Пример 9. Упростить выражение −7,5a − 2,5b + 4a
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
или покороче −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Слагаемое (−2,5b) осталось без изменений, поскольку его не с чем было складывать.
Пример 10. Упростить выражение 
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
Коэффициент 
был переведён в неправильную дробь для удобства вычисления.
Таким образом, выражение упростилось до 
Пример 11. Упростить выражение 
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
Таким образом, выражение упростилось до 
.
В данном примере целесообразнее было бы сложить первый и последний коэффициент в первую очередь. В этом случае мы получили бы короткое решение. Выглядело бы оно следующим образом:
Пример 12. Упростить выражение 
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
Таким образом, выражение упростилось до
.
Слагаемое 
осталось без изменения, поскольку его не с чем было складывать.
Данное решение можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:
В коротком решении пропущены этапы замены вычитания сложением и подробная запись, как дроби приводились к общему знаменателю.
Ещё одно различие заключается в том, что в подробном решении ответ выглядит как , а в коротком как 
. На самом деле, это одно и то же выражение. Различие в том, что в первом случае вычитание заменено сложением, поскольку в начале когда мы записывали решение в подробном виде, мы везде где можно заменили вычитание сложением, и эта замена сохранилась и для ответа.