Буквенные уравнения
Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.
Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:
Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.
Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения определить расстояние, нужно выразить переменную s.
Умнóжим обе части уравнения на t
В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:
В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:
У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.
Попробуем из уравнения определить время. Для этого нужно выразить переменную t.
Умнóжим обе части уравнения на t
В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:
В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v
В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:
У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.
Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч
v = 50 км/ч
А расстояние равно 100 км
s = 100 км
Тогда буквенное уравнение примет следующий вид
Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t. Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t
либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t
Затем разделить обе части на 50
Пример 2. Дано буквенное уравнение 
. Выразите из данного уравнения x
Вычтем из обеих частей уравнения a
Разделим обе части уравнения на b
Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c, то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.
Решим уравнение 2 + 4x = 10. Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c. Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:
Видим, что второе решение намного проще и короче.
Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0), поскольку деление на ноль на допускается.
Пример 3. Дано буквенное уравнение 
. Выразите из данного уравнения x
Раскроем скобки в обеих частях уравнения
Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x, сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.
В левой части вынесем за скобки множитель x
Разделим обе части на выражение a − b
В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b. Так окончательно выразится переменная x
Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d), то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.
Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4). Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d). Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:
Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a, b, c, d. Это позволит нам не ошибиться при подстановке:
Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0). Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.
Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d). В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:
Пример 4. Дано буквенное уравнение 
. Выразите из данного уравнения x
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Умнóжим обе части на a
В левой части x вынесем за скобки
Разделим обе части на выражение (1 − a)
