Возведение степени в степень
Это преобразование мы рассматривали в качестве примера, когда пытались понять суть тождественных преобразований степеней.
При возведении степени в степень основание оставляют без изменений, а показатели перемножают:
(an)m = an × m
К примеру, выражение (23)2 является возведением степени в степень — два в третьей степени возводится во вторую степень. Чтобы найти значение этого выражения, основание можно оставить без изменений, а показатели перемножить:
(23)2 = 23 × 2 = 26
Далее вычислить степень 26, которая равна 64
(23)2 = 23 × 2 = 26 = 64
Данное правило основано на предыдущих правилах: возведении в степень произведения и основного свойства степени.
Вернёмся к выражению (23)2. Выражение в скобках 23 представляет собой произведение из трёх одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. Тогда в выражении (23)2 степень, находящуюся внутри скобок можно заменить на произведение 2 × 2 × 2.
(2 × 2 × 2)2
А это есть возведение в степень произведения, которое мы изучили ранее. Напомним, что для возведения в степень произведения, нужно возвести в указанную степень каждый множитель данного произведения и полученные результаты перемножить:
(2 × 2 × 2)2 = 22 × 22 × 22
Теперь имеем дело с основным свойством степени. Основание оставляем без изменений, а показатели складываем:
(2 × 2 × 2)2 = 22 × 22 × 22 = 22 + 2 + 2 = 26
Как и раньше получили 26. Значение этой степени равно 64
(2 × 2 × 2)2 = 22 × 22 × 22 = 22 + 2 + 2 = 26 = 64
В степень также может возводиться произведение, сомножители которого тоже являются степенями.
Например, найдём значение выражения (22 × 32)3. Здесь показатели каждого множителя нужно умножить на общий показатель 3. Далее найти значение каждой степени и вычислить произведение:
(22 × 32)3 = 22×3 × 32×3 = 26 × 36 = 64 × 729 = 46656
Примерно тоже самое происходит при возведении в степени произведения. Мы говорили, что при возведении в степень произведения, в указанную степень возводится каждый множитель этого произведения.
Например, чтобы возвести произведение 2 × 4 в третью степень, нужно записать следующее выражение:
Но ранее было сказано, что если число дано без показателя, то показатель надо считать равным единице. Получается, что множители произведения 2 × 4 изначально имеют показатели равные 1. Значит в третью степень возводилось выражение 21 × 41. А это есть возведение степени в степень.
Перепишем решение с помощью правила возведения степени в степень. У нас должен получиться тот же результат:
Пример 2. Найти значение выражения (33)2
Основание оставляем без изменений, а показатели перемножаем:
Получили 36. Число 3 в шестой степени есть число 729
Пример 3. Выполнить возведение в степень в выражении (xy)³
Возведём в третью степень каждый множитель произведения:
Пример 4. Выполнить возведение в степень в выражении (abc)⁵
Возведём в пятую степень каждый множитель произведения:
Пример 5. Выполнить возведение в степень в выражении (−2ax)3
Возведём в третью степень каждый множитель произведения:
Поскольку в третью степень возводилось отрицательное число −2, оно было взято в скобки.
Далее нужно вычислить то, что вычисляется. В данном случае можно вычислить (−2)3 — получится −8. Буквенная часть останется без изменений:
Пример 6. Выполнить возведение в степень в выражении (10xy)2
Пример 7. Выполнить возведение в степень в выражении (−5x)3
Пример 8. Выполнить возведение в степень в выражении (−3y)4
Пример 9. Выполнить возведение в степень в выражении (−2abx)⁴
Пример 10. Упростите выражение x5 × (x2)3
Степень x5 пока оставим без изменений, а в выражении (x2)3 выполним возведение степени в степени:
x5 × (x2)3 = x5 × x2 × 3 = x5 × x6
Теперь выполним умножение x5× x6. Для этого воспользуемся основным свойством степени — основание x оставим без изменений, а показатели сложим:
x5 × (x2)3 = x5 × x2× 3 = x5 × x6 = x5 + 6 = x11
Пример 9. Найти значение выражения 43 × 22, используя основное свойство степени.
Основное свойство степени можно использовать в случае, если основания исходных степеней одинаковы. В данном примере основания разные, поэтому для начала исходное выражение нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы основания степеней стали одинаковыми.
Посмотрим внимательно на степень 43. Основание у этой степени есть число 4, которое можно представить в виде 22. Тогда исходное выражение примет вид (22)3 × 22. Выполнив возведение степени в степень в выражении (22)3, мы получим 26. Тогда исходное выражение примет вид 26 × 22, вычислить которое можно, используя основное свойство степени.
Запишем решение данного примера:
