Деление степеней
Чтобы выполнить деление степеней, нужно найти значение каждой степени, затем выполнить деление обыкновенных чисел.
Например, разделим 43 на 22.
Вычислим 43, получим 64. Вычислим 22, получим 4. Теперь разделим 64 на 4, получим 16
Если при делении степеней основания окажутся одинаковыми, то основание можно оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.
Например, найдем значение выражения 23 : 22
Основание 2 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:
Значит, значение выражения 23 : 22 равно 2.
Данное свойство основано на умножении степеней с одинаковыми основаниями, или как мы привыкли говорить на основном свойстве степени.
Вернемся к предыдущему примеру 23 : 22. Здесь делимое это 23, а делитель 22.
Разделить одно число на другое означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст в результате делимое.
В нашем случае, разделить 23 на 22 означает найти такую степень, которая при умножении на делитель 22 даст в результате 23. А какую степень можно умножить на 22, чтобы получить 23 ? Очевидно, что только степень 21. Из основного свойства степени имеем:
Убедиться, что значение выражения 23 : 22 равно 21 можно непосредственно вычислив само выражение 23 : 22. Для этого сначала найдём значение степени 23, получим 8. Затем найдём значение степени 22, получим 4. Разделим 8 на 4, получим 2 или 21, поскольку 2 = 21.
23 : 22 = 8 : 4 = 2
Таким образом, при делении степеней с одинаковыми основаниями выполняется следующее равенство:
Может случиться и так, что одинаковыми могут оказаться не только основания, но и показатели. В этом случае в ответе получится единица.
Например, найдём значение выражения 22 : 22. Вычислим значение каждой степени и выполним деление получившихся чисел:
При решении примера 22 : 22 также можно применить правило деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получается число в нулевой степени, поскольку разность показателей степеней 22 и 22 равна нулю:
В математике принято считать, что любое число в нулевой степени есть единица:
Почему число 2 в нулевой степени равно единице мы выяснили выше. Если вычислить 22 : 22 обычным методом, не используя правило деления степеней, получится единица.
Пример 2. Найти значение выражения 412 : 410
Воспользуемся правилом деления степеней. Основание 4 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:
412 : 410 = 412 − 10 = 42 = 16
Пример 3. Представить частное x3 : x в виде степени с основанием x
Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя. Показатель делителя равен единице. Для наглядности запишем его:
Пример 4. Представить частное x3 : x2 в виде степени с основанием x
Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:
Деление степеней можно записывать в виде дроби. Так, предыдущий пример можно записать следующим образом:
Числитель и знаменатель дроби 
разрешается записывать в развёрнутом виде, а именно в виде произведений одинаковых множителей. Степень x3 можно записать как x × x × x, а степень x2 как x × x. Тогда конструкцию x3 − 2 можно будет пропустить и воспользоваться сокращением дроби. В числителе и в знаменателе можно будет сократить по два множителя x. В результате останется один множитель x
Или ещё короче:
Также, полезно уметь быстро сокращать дроби, состоящие из степеней. Например, дробь можно сократить на x2. Чтобы сократить дробь на x2 нужно числитель и знаменатель дроби разделить на x2
Деление степеней подробно можно не расписывать. Приведённое сокращение можно выполнить короче:
Или ещё короче:
Пример 5. Выполнить деление x12 : x3
Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:
Запишем решение при помощи сокращения дроби. Деление степеней x12 : x3 запишем в виде 
. Далее сократим данную дробь на x3.
Пример 6. Найти значение выражения 
В числителе выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями:
Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Основание 7 оставляем без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:
Завершаем пример, вычислив степень 72
Пример 7. Найти значение выражения 
Выполним в числителе возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (23)4
Теперь выполним в числителе умножение степеней с одинаковыми основаниями:
Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
Значит, значение выражения равно 16
В некоторых примерах можно сокращать одинаковые множители в ходе решения. Это позволяет упростить выражение и само вычисление в целом.
Например, найдём значение выражения 
. Степень 43 запишем в виде возведения степени в степень (22)3. Тогда получим следующее выражение:
В числителе выполним возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (22)3
В числителе и в знаменателе получившегося выражения содержится степень 26, которую можно сократить на 26
Видим, что в результате осталась единственная степень 32, значение которой равно 9.
Пример 8. Найти значение выражения 
В знаменателе содержится произведение степеней с одинаковыми показателями. Согласно правилу возведения в степень произведения, конструкцию 75 × 45 можно представить в виде степени с одним показателем (7 × 4)5. Далее перемножим выражение в скобках, получим 285. В результате исходное выражение примет следующий вид:
Теперь можно применить правило деления степеней:
Значит, значение выражения равно 28. Запишем решение полностью:
