Тождественные преобразования степеней
Над степенями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым упрощая их.
Допустим, потребовалось вычислить выражение (23)2. В данном примере два в третьей степени возводится во вторую степень. Иными словами, степень возводится в другую степень.
(23)2 это произведение двух степеней, каждая из которых равна 23
При этом каждая из этих степеней является произведением трёх множителей, каждый из которых равен 2
Получили произведение 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, которое равно 64. Значит значение выражения (23)2 или равно 64
Этот пример можно значительно упростить. Для этого показатели выражения (23)2 можно перемножить и записать это произведение над основанием 2
Получили 26. Два в шестой степени это произведение шести множителей, каждый из которых равен 2. Это произведение равно 64
Данное свойство работает по причине того, что 23 это произведение 2 × 2 × 2, которое в свою очередь повторяется два раза. Тогда получается, что основание 2 повторяется шесть раз. Отсюда можно записать, что 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 это 26
Вообще, для любого основания a с показателями m и n, выполняется следующее равенство:
(an)m = an × m
Это тождественное преобразование называют возведением степени в степень. Его можно прочитать так: «При возведении степени в степень основание оставляют без изменений, а показатели перемножают».
После перемножения показателей, получится другая степень, значение которой можно найти.
Пример 2. Найти значение выражения (32)2
В данном примере основанием является 3, а числа 2 и 2 являются показателями. Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Основание оставим без изменений, а показатели перемножим:
Получили 34. А число 3 в четвёртой степени есть 81
Рассмотрим остальные преобразования.