Деление многочлена на многочлен с остатком
Как и при делении обычных чисел, при делении многочлена на многочлен может образоваться остаток от деления.
Для начала вспомним деление обычных чисел с остатком. Например, разделим уголком 15 на 2. С остатком это деление будет выполнено так:
То есть при делении 15 на 2 получается 7 целых и 1 в остатке. Ответ записывается следующим образом:
Рациональное число 
читается как семь целых плюс одна вторая. Знак «плюс» по традиции не записывают. Но если при делении многочлена на многочлен образуется остаток, то этот плюс записывать нужно.
Например, если при делении многочлена a на многочлен b получится частное c, да еще останется остаток q, то ответ будет записан так:
Например, разделим многочлен 2x3 − x2 − 5x + 4 на многочлен x − 3
Найдем первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 2x2. Записываем 2x2 в частном:
Умножим 2x2 на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым:
Вычтем из делимого полученный многочлен 2x3 − 6x2
Теперь делим 5x2 − 5x + 4 на делитель x − 3. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 5x. Записываем 5x в частном:
Умножим 5x на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым 5x2 − 5x + 4
Вычтем из многочлена 5x2 − 5x + 4 многочлен 5x2 − 15x
Теперь делим 10x + 4 на делитель x − 3. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 10. Записываем 10 в частном:
Умножим 10 на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым 10x + 4. Сразу вычтем этот полученный результат из делимого 10x + 4
Число 34, полученное в результате вычитания многочлена 10x − 30 из многочлена 10x + 4, является остатком. Мы не сможем найти следующий член частного, который при умножении с делителем x − 3 дал бы нам в результате 34.
Поэтому при делении многочлена 2x3 − 2x2 − 5x + 4 на многочлен x − 3 получается 2x2 + 5x + 10 и 34 в остатке. Ответ записывается таким же образом, как и при делении обычных чисел. Сначала записывается целая часть (она располагается под правым углом) плюс остаток, разделенный на делитель:
