Когда деление многочленов невозможно
Деление многочлена на многочлен невозможно в случае, если степень делимого окажется меньше степени делителя.
Например, нельзя разделить многочлен x3 + x на многочлен x4 + x2, поскольку делимое является многочленом третьей степени, а делитель — многочленом четвёртой степени.
Вопреки этому запрету можно попробовать разделить многочлен x3 + x на многочлен x4 + x2, и даже получить частное x−1, которое при перемножении с делителем будет давать делимое:
Но при делении многочлена на многочлен должен получаться именно многочлен, а частное x−1 многочленом не является. Ведь многочлен состоит из одночленов, а одночлен в свою очередь это произведение чисел, переменных и степеней. Выражение x−1 это дробь 
, которая не является произведением.
Пусть имеется прямоугольник со сторонами 4 и 2
Площадь этого прямоугольника будет равна 4 × 2 = 8 кв.ед.
Увеличим длину и ширину этого прямоугольника на x
Достроим отсутствующие стороны:
Теперь прямоугольник имеет длину x + 4 и ширину x + 2. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению (x + 4)(x + 2) и выражаться многочленом x2 + 6x + 8
(x + 4)(x + 2) = x2 + 4x + 2x + 8 = x2 + 6x + 8
При этом мы можем выполнить обратную операцию, а именно разделить площадь x2 + 6x + 8 на ширину x + 2 и получить длину x + 4.
Степень многочлена x2 + 6x + 8 равна сумме степеней многочленов-сомножителей x + 4 и x + 2, а значит ни одна из степеней многочленов-сомножителей не может превосходить степень многочлена-произведения. Следовательно, чтобы обратное деление было возможным, степень делителя должна быть меньше степени делимого.