Рациональные числа на координатной прямой
Координатную прямую мы рассматривали, когда изучали отрицательные числа. Напомним, что это прямая линия на которой лежат множество чисел. Выглядит следующим образом:
На этом рисунке приведен небольшой фрагмент координатной прямой от −5 до 5.
Отметить на координатной прямой целые числа вида 2, 0, −3 не составляет особого труда.
Намного интереснее дела обстоят с остальными числами: с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями и т.д. Эти числа лежат между целыми числами и этих чисел бесконечно много.
Например, отметим на координатной прямой рациональное число 
. Данное число располагается ровно между нулём и единицей
Попробуем понять, почему дробь вдруг расположилась между нулём и единицей.
Как уже говорилось выше, между целыми числами лежат остальные числа — обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа и т.д. К примеру, если увеличить участок координатной прямой от 0 до 1, то можно увидеть следующую картину
Видно, что между целыми числами 0 и 1 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 0,5. Внимательное рассмотрение этого рисунка даёт ответ на вопрос почему дробь расположилась именно там.
Дробь означает разделить 1 на 2. А если разделить 1 на 2, то мы получим 0,5
Десятичную дробь 0,5 можно замаскировать и под другие дроби. Из основного свойства дроби мы знаем, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.
Если числитель и знаменатель дроби умножить на любое число, например на число 4, то мы получим новую дробь 
, а эта дробь также как и равна 0,5
А значит на координатной прямой дробь можно расположить там же, где и располагалась дробь
Пример 2. Попробуем отметить на координатной рациональное число 
. Данное число располагается ровно между числами 1 и 2
Значение дроби равно 1,5
Если увеличить участок координатной прямой от 1 до 2, то мы увидим следующую картину:
Видно, что между целыми числами 1 и 2 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 1,5.
Мы увеличивали определенные отрезки на координатной прямой, чтобы увидеть остальные числа, лежащие на этом отрезке. В результате, мы обнаруживали десятичные дроби, которые имели после запятой одну цифру.
Но это были не единственные числа, лежащие на этих отрезках. Чисел, лежащих на координатной прямой бесконечно много.
Нетрудно догадаться, что между десятичными дробями, имеющими после запятой одну цифру, лежат уже другие десятичные дроби, имеющие после запятой две цифры. Другими словами, сотые части отрезка.
К примеру, попробуем увидеть числа, которые лежат между десятичными дробями 0,1 и 0,2
Ещё пример. Десятичные дроби, имеющие две цифры после запятой и лежащие между нулём и рациональным числом 0,1 выглядят так:
Пример 3. Отметим на координатной прямой рациональное число 
. Данное рациональное число будет располагаться очень близко к нулю
Значение дроби равно 0,02
Если мы увеличим отрезок от 0 до 0,1 то увидим где точно расположилось рациональное число
Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 0,02.
Пример 4. Отметим на координатной прямой рациональное число 0, (3)
Рациональное число 0, (3) является бесконечной периодической дробью. Его дробная часть никогда не заканчивается, она бесконечная
0,33333….и так далее до бесконечности..
И поскольку у числа 0,(3) дробная часть является бесконечной, это означает, что мы не сможем найти точное место на координатной прямой, где это число располагается. Мы можем лишь указать это место приблизительно.
Рациональное число 0,33333… будет располагаться очень близко к обычной десятичной дроби 0,3
Данный рисунок не показывает точное место расположения числа 0,(3). Это лишь иллюстрация, показывающая как близко может располагаться периодическая дробь 0,(3) к обычной десятичной дроби 0,3.
Пример 5. Отметим на координатной прямой рациональное число 
. Данное рациональное число будет располагаться посередине между числами 2 и 3
это есть 2 (две целых) и (одна вторая). Дробь по другому ещё называют «половиной». Поэтому мы отметили на координатной прямой два целых отрезка и ещё половину отрезка.
Если перевести смешанное число в неправильную дробь, то получим обыкновенную дробь 
. Эта дробь на координатной прямой будет располагаться там же, где и дробь
Значение дроби равно 2,5
Если увеличить участок координатной прямой от 2 до 3, то мы увидим следующую картину:
Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 2,5