Пересечение множеств
Рассмотрим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.
| Друзья Джона = { | Том, Фред, Макс, Джорж } |
| Друзья Майкла = { | Лео, Том, Фред, Эван } |
Видим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла.
Говоря на языке множеств, элементы Том и Фред принадлежат как множеству друзей Джона, так и множеству друзей Майкла.
Зададим новое множество с названием «Общие друзья Джона и Майкла» и в качестве элементов добавим в него Тома и Фреда:
| Общие друзья Джона и Майкла | = { Том, Фред } |
В данном случае множество «Общие друзья Джона и Майкла» является пересечением множеств друзей Джона и Майкла.
Пересечением двух (или нескольких) исходных множеств называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из исходных множеств.
В нашем случае элементы Том и Фред принадлежат каждому из исходных множеств, а именно: множеству друзей Джона и множеству друзей Майкла.
Обозначим множество друзей Джона через букву A, множество друзей Майкла — через букву B, а множество общих друзей Джона и Майкла обозначим через букву C:
A = { Том, Фред, Макс, Джордж }
B = { Лео, Том, Фред, Эван }
C = { Том, Фред }
Тогда пересечением множеств A и B будет множество C и записываться следующим образом:
A ∩ B = C
Символ ∩ означает пересечение.
Говоря о множестве, обычно подразумевают элементы, принадлежащие этому множеству. Символ пересечения ∩ читается, как союз И. Тогда выражение A ∩ B = C можно прочитать следующим образом:
«Элементы, принадлежащие множеству A И множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C».
Или еще проще:
«Друзья, одновременно принадлежащие Джону И Майклу, есть общие друзья Джона и Майкла».
Теперь представим, что у Джона и Майкла нет общих друзей. Для удобства, как и прежде обозначим множество друзей Джона через букву A, а множество друзей Майкла через букву B
A = { Макс, Джордж }
B = { Лео, Эван }
В этом случае говорят, что исходные множества не имеют общих элементов и пересечением таких множеств является пустое множество. Пустое множество обозначается символом ∅
A ∩ B = ∅
Пример 2. Рассмотрим два множества: множество A, состоящее из чисел 1, 2, 3, 5, 7 и множество B, состоящее из чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18
A = { 1, 2, 3, 5, 7 }
B = { 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18 }
Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B
C = { 1, 2, 3 }
Множество С является пересечением множеств A и B, поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B
Пример 3. Рассмотрим два множества: множество A, состоящее из чисел 1, 5, 7, 9 и множество B, состоящее из чисел 1, 4, 5, 7
A = { 1, 5, 7, 9 }
B = { 1, 4, 5, 7 }
Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B
C = { 1, 5, 7 }
Множество С является пересечением множеств A и B, поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B.
Пример 4. Найти пересечение следующих множеств:
A = { 1, 2, 3, 7, 9 }
B = { 1, 3, 5, 7, 9}
С = { 3, 4, 5, 8, 9}
Пересечением множеств A, B и C будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств A, B и C. Этими элементами являются числа 3 и 9.
Зададим новое множество D и добавим в него элементы 3 и 9. Затем с помощью символа пересечения ∩ запишем, что пересечением множеств A, B и C является множество D
D = { 3, 9}
A ∩ B ∩ C = D
Чтобы найти пересечение, вовсе необязательно задавать множества с помощью букв. Если элементов мало, то множество можно задать прямым перечислением элементов.
К примеру, пусть первое множество состоит из элементов 1, 3, 5, а второе из элементов 2, 3, 5. Пересечением в данном случае является множество, состоящее из элементов 3 и 5. Чтобы записать пересечение, можно воспользоваться прямым перечислением:
{ 1, 3, 5 } ∩ { 2, 3, 5 } = { 3, 5 }
Числовые промежутки, которые мы рассмотрели в предыдущих уроках, тоже являются множествами. Элементами таких множеств являются числа, входящие в числовой промежуток.
Например, отрезок [2; 6] можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие данному отрезку:
2, 3, 4, 5, 6 ∈ [2; 6]
Следует иметь ввиду, что мы перечислили только целые числа. Отрезку [2; 6] также принадлежат и другие числа, не являющиеся целыми, например, десятичные дроби. Десятичные дроби располагаются между целыми числами, но их количество настолько велико, что перечислить их не представляется возможным.
Еще пример. Интервал (2; 6) можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6, кроме чисел 2 и 6. Ранее мы говорили, что интервал это такой числовой промежуток, границы которого не принадлежат ему. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие интервалу (2; 6):
3, 4, 5 ∈ (2; 6)
Поскольку числовые промежутки являются множествами, то мы можем находить пересечения между различными числовыми промежутками. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 5. Даны два числовых промежутка: [2; 6] и [4; 8]. Найти их пересечение.
Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.
Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [2; 6] и [4; 8]:
2, 3, 4, 5, 6 ∈ [2; 6]
4, 5, 6, 7, 8 ∈ [4; 8]
Видно, что числа 4, 5, 6 принадлежат как первому промежутку [2; 6], так и второму [4; 8].
Тогда пересечением числовых промежутков [2; 6] и [4; 8] будет числовой промежуток [4; 6]
[2; 6] ∩ [4; 8] = [4; 6]
Изобразим промежутки [2; 6] и [4; 8] на координатной прямой. На верхней области отметим числовой промежуток [2; 6], на нижней — промежуток [4; 8]
Видно, что числа, принадлежащие промежутку [4; 6], принадлежат как промежутку [2; 6], так и промежутку [4; 8]. Можно также заметить, что штрихи, входящие в промежутки [2; 6] и [4; 8] пересекаются в промежутке [4; 6]. В такой ситуации, когда перед глазами есть координатная прямая, понятие пересечения множеств можно понимать в прямом смысле что очень удобно.
Пример 6. Найти пересечение числовых промежутков [−2; 3] и [4; 7]
Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.
Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [−2; 3] и [4; 7]:
−2, −1, 0, 1, 2, 3 ∈ [−2; 3]
4, 5, 6, 7 ∈ [4; 7]
Видно, что числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] не имеют общих чисел. Поэтому их пересечением будет пустое множество:
[−2; 3] ∩ [4; 7] = Ø
Если изобразить числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:
Пример 7. Дано множество из одного элемента { 2 }. Найти его пересечение с промежутком (−3; 4)
Множество, состоящее из одного элемента { 2 }, на координатной прямой изображается в виде закрашенного кружка, а числовой промежуток (−3; 4) это интервал, границы которого не принадлежат ему. Значит границы −3 и 4 будут изображаться в виде пустых кружков:
Пересечением множества { 2 } и числового промежутка (−3; 4) будет множество, состоящее из одного элемента { 2 }, поскольку элемент 2 принадлежит как множеству { 2 }, так и числовому промежутку (−3; 4)
{ 2 } ∩ (−3; 4) = { 2 }
На самом деле мы уже занимались пересечением числовых промежутков, когда решали системы линейных неравенств. Вспомните, как мы решали их. Сначала находили множество решений первого неравенства, затем множество решений второго. Затем находили множество решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.
По сути, множество решений, удовлетворяющих обоим неравенствам, является пересечением множеств решений первого и второго неравенства. Роль этих множеств берут на себя числовые промежутки.
Например, чтобы решить систему неравенств 
, мы должны сначала найти множества решений каждого неравенства, затем найти пересечение этих множеств.
В данном примере решением первого неравенства x ≥ 3 является множество всех чисел, которые больше 3 (включая само число 3). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток [3; +∞)
Решением второго неравенства x ≤ 6 является множество всех чисел, которые меньше 6 (включая само число 6). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток (−∞; 6]
А общим решением системы будет пересечение множеств решений первого и второго неравенства, то есть пересечение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]
Если мы изобразим множество решений системы на координатной прямой, то увидим, что эти решения принадлежат промежутку [3; 6], который в свою очередь является пересечением промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]
[3; +∞) ∩ (−∞; 6] = [3; 6]
Поэтому в качестве ответа мы указывали, что значения переменной x принадлежат числовому промежутку [3; 6], то есть пересечению множеств решений первого и второго неравенства
x ∈ [3; 6]
Пример 2. Решить неравенство 
Все неравенства, входящие в систему уже решены. Нужно только указать те решения, которые являются общими для всех неравенств.
Решением первого неравенства является числовой промежуток (−∞; −1).
Решением второго неравенства является числовой промежуток (−∞; −5).
Решением третьего неравенства является числовой промежуток (−∞; 4).
Решением системы будет пересечение числовых промежутков (−∞; −1), (−∞; −5) и (−∞; 4). В данном случае этим пересечением является промежуток (−∞; −5).
(−∞; −1) ∩ (−∞; −5) ∩ (−∞; 4) = (−∞; −5)
На рисунке представлены числовые промежутки и неравенства, которыми эти числовые промежутки заданы. Видно, что числа, принадлежащие промежутку (−∞; −5), одновременно принадлежат всем исходным промежуткам.
Запишем ответ к системе с помощью числового промежутка:
x ∈ (−∞; −5)
Пример 3. Решить неравенство 
Решением первого неравенства y > 7 является числовой промежуток (7; +∞).
Решением второго неравенства y < 4 является числовой промежуток (−∞; 4).
Решением системы будет пересечение числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4).
В данном случае пересечением числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) является пустое множество, поскольку эти числовые промежутки не имеют общих элементов:
(7; +∞) ∩ (−∞; 4) = ∅
Если изобразить числовые промежутки (7; +∞) и (−∞; 4) на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:
