Решение совокупностей неравенств
Рассмотрим ещё один вид неравенств, который называется совокупностью неравенств. Такой тип неравенств, возможно, вы будете решать редко, но для общего развития полезно изучить и их.
Совокупность неравенств очень похожа на систему неравенств. Различие в том, что в системе неравенств нужно найти множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству, образующему эту систему.
А в случае с совокупностью неравенств, нужно найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.
Совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой. Например, следующая запись из двух неравенств является совокупностью:
Решим данную совокупность. Сначала нужно решить каждое неравенство по отдельности.
Решением первого неравенства x ≥ 3 является числовой промежуток [3; +∞). Решением второго неравенства x ≤ 6 является числовой промежуток (−∞; 6].
Множество значений x, при которых верно хотя бы одно из неравенств, будет принадлежать промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6]. Так и записываем:
x ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6]
В этом выражении говорится, что переменная x, входящая в
совокупность принимает все значения, принадлежащие промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6]. А это то, что нам нужно. Ведь решить совокупность означает найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность. А любое число из промежутка [3; +∞) или промежутка (−∞; 6] будет удовлетворять хотя бы одному неравенству.
Например, число 9 из промежутка [3; +∞) удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3. А число −7 из промежутка (−∞; 6] удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6.
Посмотрите внимательно на выражение x ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6], а именно на его правую часть. Ведь выражение [3; +∞) ∪ (−∞; 6] представляет собой объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]. Точнее, объединение множеств решений первого и второго неравенства.
Стало быть, решением совокупности неравенств является объединение множеств решений первого и второго неравенства.
Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]
Объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является промежуток (−∞; +∞). Точнее, объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть
[3; +∞) ∪ (−∞; 6] = (−∞; +∞)
Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:
x ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6]
либо заменить на более короткий:
x ∈ (−∞; +∞)
Возьмём любое число из полученного объединения, и проверим удовлетворяет ли оно хотя бы одному неравенству.
Возьмем для примера число 8. Оно удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3.
8 ≥ 3
Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 1. Оно удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6
1 ≤ 6
Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 5. Оно удовлетворяет и первому неравенству x ≥ 3 и второму x ≤ 6
Пример 2. Решить совокупность неравенств 
Чтобы решить эту совокупность, нужно найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.
Для начала найдём множество решений первого неравенства x < −0,25. Этим множеством является числовой промежуток (−∞; −0,25).
Множеством решений второго неравенства x ≥ −7 является числовой промежуток [−7; +∞).
Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.
x ∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)
Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞)
Объединением числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞) является является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть
(−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞) = (−∞; +∞)
Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:
x ∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)
либо заменить на более короткий:
x ∈ (−∞; +∞)
Пример 3. Решить совокупность неравенств 
Решим каждое неравенство по отдельности:
Множеством решений первого неравенства x < −3 является числовой промежуток (−∞; −3).
Множеством решений второго неравенства x ≤ 0 является числовой промежуток (−∞; 0].
Решением совокупности неравенств 
будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.
x ∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]
Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0]
Объединением числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0] является числовой промежуток (−∞; 0]
(−∞; −3) ∪ (−∞; 0] = (−∞; 0]
Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:
x ∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]
либо заменить на более короткий:
x ∈ (−∞; 0]