Объединение множеств
Объединением двух (или нескольких) исходных множеств называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.
На практике объединение множеств состоит из всех элементов, принадлежащих исходным множествам. Поэтому и говорят, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств.
Рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3 и множество B с элементами 4, 5, 6.
A = { 1, 2, 3 }
B = { 4, 5, 6 }
Зададим новое множество C и добавим в него все элементы множества A и все элементы множества B
C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
В данном случае объединением множеств A и B является множество C и обозначается следующим образом:
A ∪ B = C
Символ ∪ означает объединение и заменяет собой союз ИЛИ. Тогда выражение A ∪ B = C можно прочитать так:
Элементы, принадлежащие множеству A ИЛИ множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C.
В определении объединения сказано, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Данную фразу можно понимать в прямом смысле.
Вернёмся к созданному нами множеству C, куда входят все элементы множеств A и B. Возьмём для примера из этого множества элемент 5. Что можно про него сказать?
Если 5 является элементом множества C, а множество С является объединением множеств A и B, то можно с уверенностью заявить, что элемент 5 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Так оно и есть:
A = { 1, 2, 3 }
B = { 4, 5, 6 }
C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Возьмем ещё один элемент из множества С, например, элемент 2. Что можно про него сказать?
Если 2 является элементом множества C, а множество С является объединением множеств A и B, то можно с уверенностью заявить, что элемент 2 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Так оно и есть:
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5, 6}
C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Если мы захотим объединить два или более множества и вдруг обнаружим, что один или несколько элементов принадлежат каждому из этих множеств, то в объединение повторяющиеся элементы будут входить только один раз.
Например, рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3, 4 и множество B с элементами 2, 4, 5, 6.
A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 5, 6}
Видим, что элементы 2 и 4 одновременно принадлежат и множеству A, и множеству B. Если мы захотим объединить множества A и B, то новое множество C будет содержать элементы 2 и 4 только один раз. Выглядеть это будет так:
C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Чтобы при объединении не допустить ошибок, обычно поступают так: сначала в новое множество добавляют все элементы первого множества, затем добавляют элементы второго множества, которые не принадлежат первому множеству. Попробуем сделать такое объединение с множествами A и B.
Итак, у нас имеются следующие исходные множества:
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 2, 4, 5, 6 }
Зададим новое множество С и добавим в него все элементы множества A
C = { 1, 2, 3, 4,
Теперь добавим элементы из множества B, которые не принадлежат множеству A. Множеству A не принадлежат элементы 5 и 6. Их и добавим во множество C
C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Пример 2. Друзьями Джона являются Том, Фред, Макс и Джордж. А друзьями Майкла являются Лео, Том, Фред и Эван. Найти объединение множеств друзей Джона и Майкла.
Для начала зададим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.
| Друзья Джона = { | Том, Фред, Макс, Джорж } |
| Друзья Майкла = { | Лео, Том, Фред, Эван } |
Зададим новое множество с названием «Все друзья Джона и Майкла» и добавим в него всех друзей Джона и Майкла.
Заметим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла, поэтому мы добавим их в новое множество только один раз, поскольку сразу двух Томов и двух Фредов не бывает.
| Все друзья Джона и Майкла | = { Том, Фред, Макс, Джордж, Лео, Эван } |
В данном случае множество всех друзей Джона и Майкла является объединением множеств друзей Джона и Майкла.
Друзья Джона ∪ Друзья Майкла = Все друзья Джона и Майкла
Пример 3. Даны два числовых промежутка: [−7; 0] и [−3; 5]. Найти их объединение.
Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.
Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этим промежуткам:
−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0 ∈ [−7; 0]
−3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−3; 5]
Объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5], который содержит все числа промежутка [−7; 0] и [−3; 5] без повторов некоторых из чисел
−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]
Обратите внимание, что числа −3,−2, −1 принадлежали и первому промежутку и второму. Но поскольку в объединение допускается включать такие элементы только один раз, мы включили их единоразово.
Значит объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5]
[−7; 0] ∪ [−3; 5] = [−7; 5]
Изобразим на координатной прямой промежутки [−7; 0] и [−3; 5]. На верхней области отметим числовой промежуток [−7; 0], на нижней — промежуток [−3; 5]
Ранее мы выяснили, что промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5]. Здесь полезно вспомнить про определение объединения множеств, которое было приведено в самом начале. Объединение трактуется, как множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.
Действительно, если взять любое число из промежутка [−7; 5], то окажется, что оно принадлежит хотя бы одному из промежутков: либо промежутку [−7; 0] либо промежутку [−3; 5].
Возьмём из промежутка [−7; 5] любое число, например число 2. Поскольку промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5], то число 2 будет принадлежать хотя бы одному из этих промежутков. В данном случае число 2 принадлежит промежутку [−3; 5]
Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −4. Это число будет принадлежать хотя бы одному из промежутков: [−7; 0] или [−3; 5]. В данном случае оно принадлежит промежутку [−7; 0]
Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −2. Оно принадлежит как промежутку [−7; 0], так и промежутку [−3; 5]. Но на координатной прямой оно указывается только один раз, поскольку в одной точке сразу два числа −2 не бывает.
Не каждое объединение числовых промежутков является числовым промежутком. Например, попробуем найти объединение числовых промежутков [−2; −1] и [4; 7].
Идея остаётся та же самая — объединением числовых промежутков [−2;−1] и [4; 7] будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из промежутков: [−2; −1] или [4; 7]. Но это множество не будет являться числовым промежутком. Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этому объединению:
[−2; −1] ∪ [4; 7] = { −2, −1, 4, 5, 6, 7 }
Получили множество { −2, −1, 4, 5, 6, 7 }. Это множество не является числовым промежутком по причине того, что числа, располагающиеся между −1 и 4, не вошли в полученное множество
Числовой промежуток должен содержать все числа от левой границы до правой. Если одно из чисел отсутствует, то числовой промежуток теряет смысл. Допустим, имеется линейка длиной 15 см
Эта линейка является числовым промежутком [0; 15], поскольку содержит все числа в промежутке от 0 до 15 включительно. Теперь представим, что на линейке после числа 9 сразу следует число 12.
Эта линейка не является линейкой в 15 см, и её нежелательно использовать для измерения. Также, её нельзя назвать числовым промежутком [0; 15], поскольку она не содержит все числа, которые должна была содержать.