Решение неравенств, содержащих знак ≠
Некоторые неравенства содержат знак ≠ (не равно). Например, 2x ≠ 8. Чтобы решить такое неравенство, нужно найти множество значений переменной x, при которых левая часть не равна правой части.
Решим неравенство 2x ≠ 8. Разделим обе части данного неравенства на 2, тогда получим:
Получили равносильное неравенство x ≠ 4. Решением этого неравенства является множество всех чисел, не равных 4. То есть если мы подставим в неравенство x ≠ 4 любое число, которое не равно 4, то получим верное неравенство.
Подставим, например, число 5
5 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 5 не равно 4
Подставим 7
7 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 7 не равно 4
И поскольку неравенство x ≠ 4 равносильно исходному неравенству 2x ≠ 8, то решения неравенства x ≠ 4 будут подходить и к неравенству 2x ≠ 8. Подставим те же тестовые значения 5 и 7 в неравенство 2x ≠ 8.
2 × 5 ≠ 8
2 × 7 ≠ 8
Изобразим множество решений неравенства x ≠ 4 на координатной прямой. Для этого выколем точку 4 на координатной прямой, а всю оставшуюся область с обеих сторон выделим штрихами:
Теперь запишем ответ в виде числового промежутка. Для этого воспользуемся объединением множеств. Любое число, являющееся решением неравенства 2x ≠ 8 будет принадлежать либо промежутку (−∞; 4) либо промежутку (4; +∞). Так и записываем, что значения переменной x принадлежат (−∞; 4) или (4; +∞). Напомним, что для слова «или» используется символ ∪
x ∈ (−∞; 4) ∪ (4; +∞)
В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x, принадлежат промежутку (−∞; 4) или промежутку (4; +∞).
Неравенства, содержащие знак ≠, также можно решать, как обычные уравнения. Для этого знак ≠ заменяют на знак =. Тогда получится обычное уравнение. В конце решения найденное значение переменной x нужно исключить из множества решений.
Решим предыдущее неравенство 2x ≠ 8, как обычное уравнение. Заменим знак ≠ на знак равенства =, получим уравнение 2x = 8. Разделим обе части данного уравнения на 2, получим x = 4.
Видим, что при x, равном 4, уравнение обращается в верное числовое равенство. При других значениях равенства соблюдаться не будет. Эти другие значения нас и интересуют. А для этого достаточно исключить найденную четвёрку из множества решений.
Пример 2. Решить неравенство 3x − 5 ≠ 1 − 2x
Перенесем −2x из правой части в левую часть, изменив знак, а −5 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Разделим обе части получившегося неравенства на 5
Решением неравенства x ≠ 1,2 является множество всех чисел, не равных 1,2.
Изобразим множество решений неравенства x ≠ 1,2 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
x ∈ (−∞; 1,2) ∪ (1,2; +∞)
В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x принадлежат промежутку (−∞; 1,2) или промежутку (1,2; +∞)