1.56 Степень с целым показателем

Правило вычисления

Рассмотрим следующую последовательность степеней:

2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

Первая степень в этой последовательности это степень 2⁰. Предыдущая степень с целым показателем будет уже с отрицательным показателем и выглядеть как 2⁻¹.

2⁻¹, 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

А предыдущая степень с целым показателем, которая располагается до 2⁻¹, будет степень 2⁻²

2⁻², 2⁻¹, 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

Продолжим эту последовательность в сторону степеней с целыми отрицательными показателями:

2⁻⁵, 2⁻⁴, 2⁻³, 2⁻², 2⁻¹, 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

Теперь попробуем вычислить эти степени. Степени с натуральными показателями и степень, показателем которой является 0, вычисляются легко:

А как вычислить степени с отрицательными показателями? Для начала немного отойдём от темы и затронем несколько закономерностей.

В отрицательную степень число возводится немного иначе. Следует понимать, что если при возведении в положительную степень число увеличивается, то при возведении в отрицательную степень это число наоборот уменьшается.

Если мы возьмём какое-нибудь число n, и начнём последовательно увеличивать его степень, то получим последовательность чисел, в которой каждое число меньше следующего в n раз.

Например, возьмём число 2. Начиная с нуля будем последовательно увеличивать его показатель:

2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

Вычислим эти степени:

1, 2, 4, 8, 16, 32

Получили последовательность чисел, в которой каждое число меньше следующего числа в 2 раза. Тогда логично предположить, что число, располагающееся до единицы, будет в два раза меньше единицы. Его можно получить, если 1 разделить на 2

Вернёмся к нашей исходной последовательности, где мы вычисляли степени. Получается, что степень 2⁻¹ мы вычислили. Она равна рациональному числу 

Предыдущее за числом должно быть в два раза меньше, чем . Чтобы его получить разделим  на 2

Получили . Это значение степени 2⁻²

Продолжая деление на 2 можно получить значения остальных степеней с целыми отрицательными показателями:

Заметим, что в данной последовательности значения степеней с отрицательными показателями являются обратными числами к значениям степеней с натуральными показателями:

К примеру, значение степени в 2² есть число 4. А значение степени 2⁻² есть число . Числа 4 и  являются обратными друг другу. А степени 2² и 2⁻² отличаются только тем, что у них противоположные показатели.

Можно сделать вывод, что для вычисления степени с отрицательным показателем, нужно записать дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе та же самая степень, но с противоположным показателем. Покажем это на примере степени 2⁻²

Вычислим степень, находящуюся в знаменателе:

Таким образом, чтобы вычислить степень вида a⁻ⁿ можно воспользоваться следующим правилом:

Данное правило можно доказать, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Допустим, потребовалось вычислить выражение 2³ : 2⁵. Запишем это деление в виде дроби

Воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями:

Получили степень с отрицательным показателем 2⁻². Ранее мы выяснили, что её значение равно . Чтобы убедиться в этом, попробуем вычислить выражение   как обычно, не используя правило деления степеней:

Получили рациональное число . Сократим его на 8. Тогда получим 

Пример 2. Найти значение выражения 9⁻²

Воспользуемся правилом вычисления степени с целым отрицательным показателем:

Пример 3. Найти значение выражения 3⁻³

Следует упомянуть, что правило  работает только тогда, когда a ≠ 0.

Действительно, если a будет равным нулю, то в знаменателе получим 0, а на нуль делить нельзя.

Пример 4. Найти значение выражения 

Пример 5. Найти значение выражения 

При возведении обыкновенных дробей в отрицательную степень, можно пользоваться формулой . Решим предыдущие два примера с помощью этой формулы:

Желательно уметь возводить обыкновенную дробь в отрицательную степень как с помощью формулы, так и без неё.