Стандартный вид числа
Запишем число 2 000 000 в виде произведения числа 2 и 1 000 000
2 × 1 000 000
Сомножитель 1 000 000 можно заменить на степень 106
2 × 106
Такой вид записи называют стандартным видом числа. Стандартный вид числа позволяет записывать в компактном виде как большие, так и маленькие числа.
Например, маленькое число 0,005 можно записать в виде произведения числа 5 и десятичной дроби 0,001.
5 × 0,001
Десятичную дробь 0,001 можно заменить на степень с 10−3
5 × 10−3
Значит, число 0,005 в стандартном виде будет выглядеть как 5 × 10−3
0,005 = 5 × 10−3
По стандартному виду числа можно вычислить изначальное число. Так, при записи числа 2 000 000 в стандартном виде, мы получили произведение 2 × 106. Если вычислить это произведение, то снова получим 2 000 000
2 × 106 = 2 × 1 000 000 = 2 000 000
А при записи числа 0,005 в стандартном виде мы получили произведение 5 × 10−3. Если вычислить это произведение, то получим 0,005
То есть записывая число в стандартном виде нужно записывать его так, чтобы сохранить его изначальное значение.
Стандартным видом числа называют запись вида a × 10n, где 1 ≤ a < 10 и n – целое число.
Число а это исходное число, которое надо записать в стандартном виде. Оно должно удовлетворять неравенству 1 ≤ a < 10. Чаще всего исходное число надо приводить к виду, при котором неравенство 1 ≤ a < 10 становится верным.
Например, представим число 12 в стандартном виде. Для начала проверим становится ли верным неравенство 1 ≤ a < 10 при подстановке числа 12 вместо а
1 ≤ 12 < 10
Неравенство верным не становится. Чтобы сделать неравенство верным, приведём число 12 к виду, при котором оно удовлетворяло бы данному неравенству. Для этого передвинем в числе 12 запятую влево на одну цифру:
1,2
Число 12 обратилось в число 1,2. Это число будет удовлетворять неравенству 1 ≤ a < 10
1 ≤ 1,2 < 10
Теперь наша задача состоит в том, чтобы записать произведение a × 10n. С числом а мы разобрались – этим числом у нас будет 1,2. А как подобрать степень с основанием 10?
После переноса запятой на одну цифру влево, число 12 утратило своё изначальное значение. Запятая на одну цифру влево двигается тогда, когда число делят на 10. А чтобы восстановить изначальное значение числа запятую нужно передвинуть обратно в правую сторону на одну цифру, то есть умножить число 1,2 на 10.
Значит, чтобы записать число 12 в стандартном виде, нужно представить его в виде произведения 1,2 × 10¹
12 = 1,2 × 10¹
Пример 2. Записать число 0,5 в стандартном виде.
Число 0,5 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на одну цифру вправо. В результате получим число 5, которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.
Теперь запишем произведение вида a × 10n. Число a в данном случае это 5. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение a × 10n стало равным числу 0,5. Число 0,5 получится если умножить число 5 на множитель 0,1, который представим в виде степени 10−1. В результате получим следующую запись:
0,5 = 5 × 10−1
Пример 3. Записать число 652 000 в стандартном виде.
Число 652 000 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на пять цифр влево. В результате получим число 6,52000 которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.
Теперь запишем произведение вида a × 10n. Число a в данном случае это 6,52000. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение a × 10n стало равным числу 652 000. Число 652 000 получится если число 6,52000 умножить на 100 000, а это есть степень 105. В результате получим следующую запись:
652 000 = 6,52000 × 105
Нули в конце десятичной дроби 6,52000 можно отбросить. Тогда получим более компактную запись:
652 000 = 6,52 × 105
Пример 5. Записать число 1 024 000 в стандартном виде.
Число 1 024 000 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на шесть цифр влево. В результате получим число 1,024000 которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.
Теперь запишем произведение вида a × 10n. Число a в данном случае это 1,024000 . А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение a × 10n было равно изначальному числу 1 024 000. Число 1 024 000 получится если число 1,024000 умножить на 1 000 000, а это есть степень 106. В результате получим следующую запись:
1 024 000 = 1,024000 × 106
Нули в конце десятичной дроби 1,024000 можно отбросить:
1 024 000 = 1,024 × 106
Отбрасывать можно только те нули, которые располагаются в конце, и после которых нет других цифр, бóльших нуля. В приведённом примере были отброшены только три нуля, а нуль располагавшийся между запятой и цифрой 2 был сохранен, несмотря на то, что он тоже располагался после запятой.
Пример 6. Записать число 0,000325 в стандартном виде.
Передвинем в данном числе запятую так, чтобы оно удовлетворяло неравенству 1 ≤ a< 10. В результате получим число 3,25
Теперь запишем произведение вида a × 10n. Число a в данном случае это 3,25. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение a × 10n было равно изначальному числу 0,000325. Число 0,000325 получится если число 3,25 умножить на множитель 0,0001 который представим в виде степени 10−4. В результате получим следующую запись:
0,000325 = 3,25 × 10−4