1.56 Степень с целым показателем

Поднятие степени из знаменателя в числитель и наоборот

Если знаменатель дробного выражения содержит степень, то данную степень можно поднять в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. Значение выражения при этом не меняется. Данное преобразование иногда используется при упрощении выражений.

Рассмотрим следующее равенство:

Данное равенство является верным, поскольку выражение  равно 2⁰, а любое число в нулевой степени есть единица.

Попробуем поднять степень 2² из знаменателя в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, поднятую степень и ту степень, которая располагалась в числителе, соединим знаком умножения:

Получили выражение 2² × 2⁻². Чтобы его вычислить, воспользуемся основным свойством степени:

2² × 2⁻² = 2^2 + (−2) = 2⁰ = 1

Получился тот же результат, что и раньше. Значит значение выражения не изменилось. Как это работает?

Если в равенстве  поменять местами левую и правую часть, то получим равенство . Это позволяет заменять в выражениях дробь вида  на тождественно равное ей выражение a⁻ⁿ.

Теперь представим выражение  в виде произведения . То есть заменим деление умножением. Напомним, что при замене деления умножением, делимое умножают на число, обратное делителю. А обратное делителю число в данном случае это дробь 

Теперь воспользуемся правилом . В произведении  заменим дробь  на тождественно равное ей выражение 2⁻²

Далее, как и раньше применяем основное свойство степени:

Получился тот же результат 1.

Таким же образом можно опустить степень из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный.

Рассмотрим выражение . Чтобы найти его значение, воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получим

Теперь попробуем решить этот пример, опустив степень 2⁻² из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, опущенную степень 2⁻² и ту степень, которая располагалась в знаменателе, соединим знаком умножения. А в числителе останется единица:

Дальнейшее вычисление не составит особого труда:

Как и в прошлом примере выражение  представимо в виде произведения 

Этим и объясняется появление единицы в числителе, после того как степень 2⁻² была опущена в знаменатель.

Переносимых в знаменатель либо в числитель степеней может быть несколько. Например, знаменатель дроби  содержит степени 3², a³, b⁴. Перенесём эти степени в числитель, изменив знаки их показателей на противоположные. В результате получим выражение 3⁻²a⁻³b⁻⁴.

Пример 2. Поднять степени из знаменателя дроби  в числитель

Пример 3. Поднять степени из знаменателя дроби  в числитель

Пример 4. Поднять степень из знаменателя дроби  в числитель

Пример 5. Опустить степень из числителя дроби  в знаменатель

Пример 6. Степень из числителя дроби  опустить в знаменатель, а степень из знаменателя поднять в числитель

Представлять дробь  в виде произведения  вовсе не обязательно. Если пропустить эту запись, то данный пример можно решить короче:

Пример 7. В дроби  перенести из знаменателя в числитель только те степени, которые имеют отрицательные показатели:

Пример 8. Представить произведение 3x⁻⁵ в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Перепишем произведение 3x⁻⁵ с помощью знака умножения:

3 × x⁻⁵

Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель x⁻⁵ заменим на тождественно равную ему дробь 

Теперь согласно правилу умножения целого числа на дробь, умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь 

Пример 9. Представить произведение 3(x + y)⁻⁴ в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Выражение состоит из сомножителей 3 и (x + y)⁻⁴. Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель (x + y)⁻⁴ заменим на тождественно равную ему дробь 

Теперь умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь 

Пример 10. Представить дробь  в виде произведения.

Чтобы решить этот пример, достаточно поднять степень x² в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный:

Как и в прошлых примерах дробь  можно было представить в виде произведения . Затем воспользовавшись правилом , заменить сомножитель  на тождественно равный ему сомножитель x⁻².

Пример 11. Представить дробь  в виде произведения.

Пример 12. Найти значение выражения 

Поднимем степень 2⁻³ из знаменателя в числитель, а степень 10⁻² из числителя опустим в знаменатель:

Вычислим значения степеней, содержащихся в числителе и в знаменателе:

Сократим полученную дробь на 25. Тогда останется дробь , значение которой равно 2.

А если бы мы не подняли степень 2⁻³ в числитель, и степень 10⁻² не опустили в знаменатель, а стали вычислять каждую степень по отдельности, то получили бы не очень компактное решение: