1.58 Одночлены

Приведение одночлена к стандартному виду

Рассмотрим следующий одночлен:

Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.

Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Итак, приведём одночлен 3a²5a³b² к стандартному виду. В этом одночлене содержатся числа 3 и 5. Перемножим их, получим число 15. Записываем его:

15

Далее в одночлене 3a²5a³b² содержатся степени a² и a³, которые имеют одинаковое основание a. Из тождественных преобразований со степенями известно, что при перемножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели складывают. Тогда перемножение степеней a² и a³ даст в результате a⁵. Записываем a⁵ рядом с числом 15

15a⁵

Далее в одночлене 3a²5a³b² содержится степень b². Её не с чем перемножать, поэтому она остаётся без изменений. Записываем её как есть к новому одночлену:

15a⁵b²

Мы привели одночлен 3a²5a³b² к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a⁵b²

3a²5a³b² = 15a⁵b²

Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.

Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc

abc = 1 × abc

А коэффициентом одночлена −abc будет −1, поскольку −abc это произведение минус единицы и abc

−abc = −1 × abc

Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Например, степенью одночлена 15a⁵b² является 7. Это потому что переменная a имеет показатель 5, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 5 + 2 = 7. Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.

Ещё пример. Степенью одночлена 7ab² является 3. Здесь переменная a имеет показатель 1, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 1 + 2 = 3.

Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.

Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.

Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya² к стандартному виду

Перемножим числа 5 и 3, получим 15. Это будет коэффициент одночлена:

15

Далее в одночлене 5xx3ya² содержатся переменные x и x. Перемножим их, получим x².

15x²

Далее в одночлене 5xx3ya² содержится переменная y, которую не с чем перемножать. Записываем её без изменений:

15x²y

Далее в одночлене 5xx3ya² содержится степень a², которую тоже не с чем перемножать. Её также оставляем без изменений:

15x²ya²

Получили одночлен 15x²ya², который приведён к стандартному виду. Буквенные сомножители принято записывать в алфавитном порядке. Тогда одночлен 15x²ya² примет вид 15a²x²y.

Поэтому, 5xx3ya² = 15a²x²y.

Пример 2. Привести одночлен 2m³n × 0,4mn к стандартному виду

Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.

2m³n × 0,4mn = 2 × 0,4 × m³ × m × n × n = 0,8m⁴n²

Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m³ × m и n × n

2m³n × 0,4mn = (2 × 0,4) × (m³ × m) × (n × n) = 0,8m⁴n²

Но желательно выполнять все элементарные действия в уме. Так, решение можно записать значительно короче:

2m³n × 0,4mn = 0,8m⁴n²

Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема умножения целых чисел и умножения степеней должна быть изучена на хорошем уровне.