Квадрат суммы двух выражений
Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2x + 3y)2.
Выражение (2x + 3y)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y)
(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y)
Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:
(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y) = 4x2 + 6xy + 6xy + 9y2 = 4x2 + 12xy + 9y2
То есть выражение (2x + 3y)2 равно 4x2 + 12xy + 9y2
(2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
Решим аналогичный пример, который попроще:
(a + b)2
Выражение (a + b)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
Выполним это умножение:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
То есть выражение (a + b)2 равно a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Оказывается, что случай (a + b)2 можно распространить для любых a и b. Первый пример, который мы решили, а именно (2x + 3y)2 можно решить с помощью тождества (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x + 3y)2. В данном случае переменной a соответствует член 2x, а переменной b соответствует член 3y
a = 2x
b = 3y
И далее можно воспользоваться тождеством (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:
(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 × 2x × 3y + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
Как и в прошлый раз получили многочлен 4x2 + 12xy + 9y2. Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:
(2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
Тождество (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Рассмотрим выражение (2 + 3)2. Его можно вычислить двумя способами: выполнить сложение в скобках и возвести полученный результат в квадрат, либо воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений.
Первый способ:
(2 + 3)2 = 52 = 25
Второй способ:
(2 + 3)2 = 22 + 2 × 2 × 3 + 32 = 4 + 12 + 9 = 25
Пример 2. Преобразовать выражение (5a + 3)2 в многочлен.
Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(5a + 3)2 = (5a)2 + 2 × 5a × 3 + 32 = 25a2 + 30a + 9
Значит, (5a + 3)2 = 25a2 + 30a + 9.
Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:
(5a + 3)2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a2 + 15a + 15a + 9 = 25a2 + 30a + 9
Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.
Например, площадь квадрата со стороной a будет равна a2. Если увеличить сторону квадрата на b, то площадь будет равна (a + b)2
Рассмотрим следующий рисунок:
Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке увеличили на b. У квадрата все стороны равны. Если его сторону увеличить на b, то остальные стороны тоже увеличатся на b
Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:
Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.
Сначала можно вычислить квадрат со стороной a — его площадь будет равна a2. Затем можно вычислить прямоугольники со сторонами a и b — они будут равны ab. Затем можно вычислить квадрат со стороной b
В результате получается следующая сумма площадей:
a2 + ab + ab + b2
Сумму площадей одинаковых прямоугольников можно заменить на умножение 2ab, которое буквально будет означать «повторить два раза площадь прямоугольника ab». Алгебраически это получается путём приведения подобных слагаемых ab и ab. В результате получается выражение a2 + 2ab + b2, которое является правой частью формулы квадрата суммы двух выражений:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2