Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности
Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:
(a + b)(a2 − ab + b2)
Первый многочлен (a + b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a2 − ab + b2) является неполным квадратом разности этих двух выражений.
Неполный квадрат разности это многочлен вида a2 − ab + b2. Он похож на обычный квадрат разности a2 − 2ab + b2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.
Например, выражение 4x2 − 6xy + 9y2 является неполным квадратом разности выражений 2x и 3y.
(2x)2 − 2x × 3y + (3y)2 = 4x2 − 6xy + 9y2
Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a2 − ab + b2
(a + b)(a2 − ab + b2) = a(a2 − ab + b2) + b(a2 − ab + b2) =
a3 − a2b + ab2 + a2b − ab2 + b3 = a3 + b3
То есть выражение (a + b)(a2 − ab + b2) равно a3 + b3
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:
Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.
Пример 1. Выполнить умножение (2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2)
Первый многочлен (2x + 3y) это сумма двух выражений 2x и 3y, а второй многочлен 4x2 − 6xy + 9y2 это неполный квадрат разности этих выражений. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3. В нашем случае умножение (2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2) можно заменить на сумму кубов 2x и 3y
(2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2) = (2x)3 + (3y)3 = 8x3 + 27y3
Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:
(2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2) = 2x(4x2 − 6xy + 9y2) + 3y(4x2 − 6xy + 9y2) =
8x3 − 12x2y + 18xy2 + 12x2y − 18xy2 + 27y3 = 8x3 + 27y3
Пример 2. Выполнить умножение (2x + y)(4x2 − 2xy + y2)
Первый многочлен (2x + y) является суммой двух выражений, а второй многочлен (4x2 − 2xy + y2) является неполным квадратом разности этих выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
(2x + y)(4x2 − 2xy + y2) = (2x)3 + y3 = 8x3 + y3
Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:
(2x + y)(4x2 − 2xy + y2) = 2x(4x2 − 2xy + y2) + y(4x2 − 2xy + y2) =
8x3 − 4x2y + 2xy2 + 4x2y − 2xy2 + y3 = 8x3 + y3