Квадрат разности двух выражений
Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Эту формулу можно прочитать так:
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b)2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)
(a − b)2 = (a − b)(a − b)
Если выполнить это умножение, то получится многочлен a2 − 2ab + b2
(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2
Пример 1. Преобразовать выражение (7x − 5)2 в многочлен.
Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(7x − 5)2 = (7x)2 − 2 × 7x × 5 + 52 = 49x2 − 70x + 25
Значит, (7x − 5)2 = 49x2 − 70x + 25.
Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:
(7x − 5)2 = (7x − 5)(7x − 5) = 49x2 − 35x − 35x + 25 = 49x2 − 70x + 25.
Формула квадрата разности двух выражений тоже имеет геометрический смысл. Если площадь квадрата со стороной a равна a2, то площадь квадрата, сторона которого уменьшена на b, будет равна (a − b)2
Рассмотрим следующий рисунок:
Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке уменьшили на b. У квадрата все стороны равны. Если одну сторону уменьшить на b, то остальные стороны тоже уменьшатся на b
Получился новый квадрат, который меньше предыдущего. На рисунке он выделен жёлтым. Сторона его равна a − b, поскольку старая сторона a уменьшилась на b. Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно из первоначальной площади квадрата a2 вычесть площади прямоугольников, которые получились в процессе уменьшения сторон старого квадрата. Покажем эти прямоугольники:
Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a2 минус площадь ab минус площадь (a − b)b
a2 − ab − (a − b)b
Раскроем скобки в выражении (a − b)b
a2 − ab − ab + b2
Приведем подобные слагаемые:
a2 − 2ab + b2
В результате получается выражение a2 − 2ab + b2, которое является правой частью формулы квадрата разности двух выражений:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.
Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.
Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.
Например, если дано выражение (5x − 2y)2, и мы хотим воспользоваться формулой (a − b)2 = a2 − 2ab + b2, то вместо b нужно подставлять 2y, а не −2y. Это особенность работы с формулами, которую не следует забывать.
(5x − 2y)2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y)2 = (5x)2 − 2 × 5x × 2y + (2y)2 = 25x2 − 20xy + 4y2
Если подставлять −2y, то это будет означать, что разность в скобках исходного выражения была заменена на сумму:
(5x − 2y)2 = (5x + (−2y))2
и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:
(5x + (−2y)2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y))2 = (5x)2 + 2 × 5x × (−2y) + (−2y)2 = 25x2 − 20xy + 4y2
Исключением могут быть выражения вида (x − (−y))2. В данном случае, применяя формулу (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 вместо b следует подставить (−y)
(x − (−y))2 = x2 − 2 × x × (−y) + (−y)2 = x2 + 2xy + y2
Но возводя в квадрат выражения вида x − (−y), удобнее будет заменять вычитание на сложение x + y. Тогда первоначальное выражение примет вид (x + y)2 и можно будет воспользоваться формулой квадрата суммы, а не разности:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2