Куб суммы и куб разности
Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.
Выведем формулу куба суммы самостоятельно:
(a + b)3
Выражение (a + b)3 представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a + b)
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
Но выражение (a + b)3 также может быть записано как (a + b)(a + b)2
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
При этом сомножитель (a + b)2 является квадратом суммы двух выражений. Этот квадрат суммы равен выражению a2 + 2ab + b2.
Тогда (a + b)3 можно записать как (a + b)(a2 + 2ab + b2).
(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:
(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:
(a − b)3 = (a − b)(a2 − 2ab + b2) = a3 − 2a2b + ab2 − a2b + 2ab2 − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Пример 1. Преобразуйте выражение (x + 1)3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(x + 1)3 = x3 + 3 × x2 × 1 + 3 × x × 12 + 13 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:
(x + 1)3 = (x + 1)(x + 1)(x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 1) = x3 + 2x2 + x + x2 + 2x + 1 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Пример 2. Преобразовать выражение (6a2 + 3b3)3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(6a2 + 3b3)3 = (6a2)3 + 3 × (6a2)2 × 3b3 + 3 × 6a2 × (3b3)2 + (3b3)3 = 216a6 + 3 × 36a4 × 3b3 + 3 × 6a2 × 9b6 + 27b9
Пример 3. Преобразовать выражение (n2 − 3)3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:
(a − b) = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
(n2 − 3)3 = (n2)3 − 3 × (n2)2 × 3 + 3 × n2 × 32 − 33 = n6 − 9n4 + 27n2 − 27
Пример 4. Преобразовать выражение (2x2 − x3)3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:
(a − b) = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
(2x2 − x3)3 = (2x2)3 − 3 × (2x2)2 × x3 + 3 × 2x2 × (x3)2 − (x3)3 =
8x6 − 3 × 4x4 × x3 + 3 × 2x2 × x6 − x9 =
8x6 − 12x7 + 6x8 − x9