Вынесение общего множителя за скобки
Мы уже учились выносить общий множитель за скобки в простых буквенных выражениях. Теперь мы немного углубимся в эту тему, и научимся выносить общий множитель за скобки в многочлене. Принцип вынесения будет таким же, как и в простом буквенном выражении. Небольшие трудности могут возникнуть лишь с многочленами, состоящими из степеней.
Рассмотрим простой двучлен 6xy + 3xz. Вынесем в нём общий множитель за скобки. В данном случае за скобки можно вынести общий множитель 3x. Напомним, что при вынесении общего множителя за скобки, каждое слагаемое исходного выражения надо разделить на этот общий множитель:
Или покороче:
В результате получили 3x(2y + z). При этом в скобках образовался другой более простой многочлен (2y + z). Выносимый за скобки общий множитель выбирают так, чтобы в скобках остались члены, которые не содержат общего буквенного множителя, а модули коэффициентов этих членов не имели общего делителя, кроме единицы.
Поэтому в приведенном примере за скобки был вынесен общий множитель 3x. В скобках образовался многочлен 2y + z, модули коэффициентов которого не имеют общего делителя кроме единицы. Это требование можно выполнить, если найти наибольший общий делитель (НОД) модулей коэффициентов исходных членов. Этот НОД станóвится коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки. В нашем случае исходный многочлен был 6xy + 3xz. Коэффициенты исходных членов это числа 6 и 3, а их НОД равен 3.
А буквенную часть общего множителя выбирают так, чтобы члены в скобках не имели общих буквенных множителей. В данном случае это требование выполнилось легко. Общий буквенный множитель был виден невооруженным глазом — это был множитель x.
Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в многочлене x2 + x + xy
Все члены данного многочлены имеют коэффициент единицу. Наибольший общий делитель модулей из этих единиц есть единица. Поэтому числовая часть выносимого за скобки множителя будет единицей. Но единицу в качестве коэффициента не записывают.
Далее выбираем буквенную часть общего множителя. Прежде всего надо понимать, что любой член, входящий в многочлен, является одночленом. А одночлен это произведение чисел, переменных и степеней. Даже если членом многочлена является обычное число, его всегда можно представить в виде произведения единицы и самого этого числа. Например, если в многочлене содержится число 5, его можно представить в виде 1 × 5. Если в многочлене содержится число 8, то его можно представить в виде произведения множителей 2 × 2 × 2 (или как 2 × 4)
С переменными такая же ситуация. Если в многочлене содержится член, являющийся переменной или степенью, их всегда можно представить в виде произведения. К примеру, если многочлен содержит одночлен x, его можно представить в виде произведения 1 × x. Если же многочлен содержит одночлен x3, его можно представить в виде произведения xxx.
Одночлены, из которых состоит многочлен x2 + x + xy, можно разложить на множители так, чтобы мы смогли увидеть буквенный сомножитель, который является общим для всех членов.
Итак, первый член многочлена x2 + x + xy, а именно x2 можно представить в виде произведения x × x. Второй член x можно представить в виде 1 × x. А третий член xy оставим без изменения, или для наглядности перепишем его с помощью знака умножения x × y
Каждый член многочлена представлен в виде произведения множителей, из которых состоят эти члены. Легко заметить, что во всех трёх произведениях общим сомножителем является x. Выделим его:
Этот множитель x и вынесем за скобки. Опять же при вынесении общего множителя за скобки каждое слагаемое исходного выражения делим на этот общий множитель. В нашем случае каждый член многочлена x × x + 1 × x + x × y нужно разделить на общий множитель x
Значит, при вынесении общего множителя за скобки в многочлене x2 + x + xy, получается x(x + 1 + y)
Или покороче:
В результате в скобках остаются члены, которые не имеют общих буквенных сомножителей, а модули коэффициентов этих членов не имеют общих делителей, кроме 1.
Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 15x2y3 + 12xy2 + 3xy2
Определим коэффициент общего множителя, выносимого за скобки. Наибольший общий делитель модулей коэффициентов 15, 12 и 3 это число 3. Значит, число 3 будет коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки.
Теперь определим буквенную часть общего множителя, выносимого за скобки. Её нужно выбирать так, чтобы в скобках остались члены, которые не содержат общего буквенного множителя.
Перепишем буквенные части исходного многочлена 15x2y3 + 12xy2 + 3xy2 в виде разложения на множители. Это позволит хорошо увидеть, что именно можно вынести за скобки:
Видим, что среди буквенных частей общим множителем является xyy, то есть xy2. Если вынести этот множитель за скобки, в скобках останется многочлен, не имеющий общего буквенного множителя.
В итоге общим множителем, выносимым за скобки, будет множитель 3xy2
Или покороче:
Для проверки можно выполнить умножение 3xy2(5xy + 4 + 1). В результате должен получиться многочлен 15x2y3 + 12xy2 + 3xy2
3xy2(5xy + 4 + 1) = 3xy2 × 5xy + 3xy2 × 4 + 3xy2 × 1 = 15x2y3 + 12xy2 + 3xy2
Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении x2 + x
В данном случае за скобки можно вынести x
Это потому что первый член x2 можно представить как xx. А второй член x представить как 1 × x
x2 + x = xx + 1 × x
Не следует на письме подробно расписывать содержимое каждого члена, разлагая его на множители. Это легко делается в уме.
Пример 4. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 5y2 − 15y
В данном случае за скобки можно вынести 5y. Наибольший общий делитель модулей коэффициентов 5 и 15 это число 5. Среди буквенных множителей общим является y
Пример 5. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 5y2 − 15y3
В данном примере за скобки можно вынести 5y2. Наибольший общий делитель модулей коэффициентов 5 и 15 это число 5. Среди буквенных множителей общим является y2
Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 20x4 − 25x2y2 − 10x3
В данном примере за скобки можно вынести 5x2. Наибольший общий делитель модулей коэффициентов 20, −25 и −10 это число 5. Среди буквенных множителей общим является x2
Пример 7. Вынести общий множитель за скобки в многочлене am + am + 1
Второй член am + 1 представляет собой произведение из am и a, поскольку am × a = am + 1
Заменим в исходном примере член am + 1 на тождественно равное ему произведение am × a. Так проще будет увидеть общий множитель:
Теперь можно увидеть, что общим множителем является am. Его и вынесем за скобки:
