Сложение многочленов
К многочлену можно прибавить другой многочлен. Например, прибавим к многочлену 2x + y многочлен 3x + y.
Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «плюс», указывая тем самым, что мы складываем многочлены:
(2x + y) + (3x + y)
Теперь раскрываем скобки:
2x + y + 3x + y
Далее приведём подобные слагаемые:
2x + y + 3x + y = 5x + 2y
Таким образом, при сложении многочленов 2x + y и 3x + y получается многочлен 5x + 2y.
Разрешается также сложение многочленов в столбик. Для этого их следует записать так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом, затем выполнить самó сложение. Решим предыдущий пример в столбик:
Если в одном из многочленов окажется слагаемое, которое не имеет подобного слагаемого в другом многочлене, оно переносится к результату без изменений. Как говорят при сложении обычных чисел — «сносится».
Например, сложим в столбик многочлены 2x2 + y3 + z + 2 и 5x2 + 2y3. Для начала запишем их так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом, затем выполним их сложение. Обнаруживаем, что во втором многочлене не содержатся слагаемые, которые можно было бы сложить со слагаемыми z и 2 из первого многочлена. Поэтому слагаемые z и 2 переносятся к результату без изменений (вместе со своими знаками)
Решим этот же пример с помощью скобок:
(2x2 + y3 + z + 2) + (5x2 + 2y3) = 2x2 + y3 + z + 2 + 5x2 + 2y3 = (2x2 + 5x2) + (y3 + 2y3) + z + 2 = 7x2 + 3y3 + z + 2
Пример 3. Сложить многочлены 7x3 + y + z2 и x3 − z2
Решим этот пример в столбик. Запишем второй многочлен под первым так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом:
Во втором многочлене не было слагаемого, которого можно было бы сложить со слагаемым y из первого многочлена, поэтому это слагаемое было перенесёно к результату без изменений. А сложение подобных слагаемых z2 и −z2 дало в результате 0. Ноль по традиции не записываем. Поэтому окончательный ответ это 8x3 + y.
Решим этот же пример с помощью скобок:
(7x3 + y + z2) + (x3 − z2) = 7x3 + y + z2 + x3 − z2 = (7x3 + x3) + (z2 − z2) + y = 8x3 + y