Вычитание многочленов
Из многочлена можно вычесть другой многочлен. Например, вычтем из многочлена 2x + y многочлен 3x + y.
Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «минус», указывая тем самым, что мы выполняем вычитание:
(2x + y) − (3x + y)
Теперь раскроем скобки:
2x + y − 3x − y
Приведём подобные слагаемые. Слагаемые y и −y являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю
y + (−y) = 0
Приводя подобные слагаемые, мы обычно складываем их. Но в качестве знака операции можно использовать знак одночлена. Так, приводя подобные слагаемые y и −y мы сложили их по правилу приведения подобных слагаемых. Но можно не складывая, записать их друг за другом
y − y
Получится тот же результат, поскольку выражения y + (−y) и y − y одинаково равны нулю:
y − y = 0
Возвращаемся к нашему примеру. Вычеркнем члены y и −y:
А сложение подобных слагаемых 2x и −3x, даст в результате −x
2x + (−3x) = −x
Или без сложения, записав члены друг за другом:
2x − 3x = −x
Значит, при вычитании из многочлена (2x + y) многочлена (3x + y) получится одночлен −x.
Решим этот же пример в столбик:
Пример 2. Вычесть из многочлена 13x − 11y + 10z многочлен −15x + 10y − 15z
Решим этот пример с помощью скобок, а затем в столбик:
(13x − 11y + 10z) − (−15x + 10y − 15z) = 13x − 11y + 10z + 15x − 10y + 15z = (13x + 15x) + (−11y − 10y) + (10z + 15z) = 28x + (−21y) + 25z = 28x − 21y + 25z
Следует быть внимательным при вычитании в столбик. Если не следить за знаками, вероятность допустить ошибку очень высокá. Нужно учитывать не только знак операции вычитания, но и знак располагающийся перед слагаемым.
Так, в данном примере из слагаемого 10z вычиталось слагаемое −15z
10z − (−15z)
Результат вычисления этого выражения должен быть положительным, поскольку 10z − (−15z) = 10z + 15z.
Складывая или вычитая многочлены при помощи скобок, первый многочлен в скобки можно не заключать. Так, в данном примере из многочлена 13x − 11y + 10z требовалось вычесть многочлен −15x + 10y − 15z
Вычитание было записано так:
(13x − 11y + 10z) − (−15x + 10y − 15z)
Но первый многочлен можно не заключать в скобки:
13x − 11y + 10z − (−15x + 10y − 15z)
Заключение первого многочлена в скобки на первых порах позволяет начинающим наглядно увидеть, что второй многочлен полностью вычитается из первого, а не из определенной его части.