Представление многочлена в виде суммы или разности
Многочлен можно представить в виде суммы или разности многочленов. По сути это обратное действие раскрытию скобок, поскольку идея подразумевает, что имеется некий многочлен, и из него можно образовать сумму или разность многочленов, заключив в скобки некоторые из членов исходного многочлена.
Пусть имеется многочлен 3x + 5y + z + 7. Представим его в виде суммы двух многочленов.
Итак, из членов исходного многочлена нужно образовать два многочлена, сложенные между собой. Давайте заключим в скобки члены 3x и 5y, а также члены z и 7. Далее объединим их с помощью знака «плюс»
(3x + 5y) + (z + 7)
Значение исходного многочлена при этом не меняется. Если раскрыть скобки в получившемся выражении (3x + 5y) + (z + 7), то снова получим многочлен 3x + 5y + z + 7.
(3x + 5y) + (z + 7) = 3x + 5y + z + 7
В скобки также можно было бы заключить члены 3x, 5y, z и прибавить это выражение в скобках к члену 7
(3x + 5y + z) + 7
Представляя многочлен в виде разности многочленов, нужно придерживаться следующего правила. Если члены заключаются в скобки после знака минуса, то этим членам внутри скобок нужно поменять знаки на противоположные.
Вернемся к многочлену 3x + 5y + z + 7. Представим его в виде разности двух многочленов. Давайте заключим в скобки многочлен 3x и 5y, а также z и 7, затем объединим их знаком «минус»
(3x + 5y) − (z + 7)
Но мы видим, что после знака минуса следует заключение членов z и 7 в скобки. Поэтому этим членам нужно поменять знаки на противоположные. Делать это нужно внутри скобок:
(3x + 5y) − (−z − 7)
Заключая члены в скобки, нужно следить за тем, чтобы значение нового выражения тождественно было равно предыдущему выражению. Этим и объясняется замена знаков членов внутри скобок. Если в выражении (3x + 5y) − (−z − 7) раскрыть скобки, то получим изначальный многочлен 3x + 5y + z + 7.
(3x + 5y) − (−z − 7) = 3x + 5y + z + 7
Вообще, представляя многочлен в виде суммы или разности, можно придерживаться следующих правил:
Если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены внутри скобок записываются со своими же знаками.
Если перед скобками ставится знак «минус», то все члены внутри скобок записываются с противоположными знаками.
Пример 1. Представить многочлен 3x4 + 2x3 + 5x2 − 4 в виде суммы каких-нибудь двучленов:
(3x4 + 2x3) + (5x2 − 4)
Пример 2. Представить многочлен 3x4 + 2x3 + 5x2 − 4 в виде разности каких-нибудь двучленов:
(3x4 + 2x3) − (−5x2 + 4)
Перед вторыми скобками располагался минус, поэтому члены 5x2 и −4 были записаны с противоположными знаками.