Проверка на тождественность
Решение задачи с многочленами порой растягивается на несколько строк. Каждое следующее преобразование должно быть тождественно равно предыдущему. Если возникают сомнения в правильности своих действий, то можно подставить произвольные значения переменных в исходное и полученное выражение. Если исходное и полученное выражение будут равны одному и тому же значению, то можно быть уверенным, что задача была решена правильно.
Допустим, нам нужно вынести общий множитель за скобки в следующем многочлене:
2x + 4x2
В данном случае за скобки можно вынести общий множитель 2x
2x + 4x2 = 2x(1 + 2x)
Представим, что мы не уверены в таком решении. В этом случае нужно взять любое значение переменной x и подставить его сначала в исходное выражение 2x + 4x2, затем в полученное 2x(1 + 2x). Если в обоих случаях результат будет одинаковым, то это будет означать, что задача решена правильно.
Возьмём произвольное значение x и подставим его в исходное выражение 2x + 4x2. Пусть x = 2. Тогда получим:
2x + 4x2 = 2 × 2 + 4 × 22 = 4 + 16 = 20
Теперь подставим значение 2 в преобразованное выражение 2x(1 + 2x)
2x(1 + 2x) = 2 × 2 × (1 + 2 × 2) = 4 × 5 = 20
То есть при x = 2 выражения 2x + 4x2 и 2x(1 + 2x) равны одному и тому же значению. Это значит, что задача была решена правильно. Тоже самое будет происходить и при других значениях переменных x. Например, проверим наше решение при x = 1
2x + 4x2 = 2 × 1 + 4 × 12 = 2 + 4 = 6
2x(1 + 2x) = 2 × 1 × (1 + 2 × 1) = 2 × 3 = 6
Пример 2. Вычесть из многочлена 5x2 − 3x + 4 многочлен 4x2 − x и проверить полученный результат, подставив вместо переменной x произвольное значение.
Выполним вычитание:
Мы выполнили два преобразования: cначала раскрыли скобки, а затем привели подобные члены. Теперь проверим эти два преобразования на тождественность. Пусть x = 2. Подставим это значение сначала в исходное выражение, а затем в преобразованные:
Видим, что при каждом преобразовании значение выражения при x = 2 не менялось. Это значит, что задача была решена правильно.