Многочлен и его стандартный вид
Многочлен, как и одночлен, можно привести к стандартному виду. В результате получается упрощенный многочлен, с которым удобно работать.
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести подобные слагаемые в этом многочлене. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением его подобных членов.
Подобные члены многочлена это члены, имеющие одинаковую буквенную часть.
Приведём многочлен 2x + 4xy2 + x − xy2 к стандартному виду. Для этого приведём его подобные члены. Подобными членами в этом многочлене являются 2x и x, а также 4xy2 и −xy2.
В результате получили многочлен 3x + 3xy2, который не имеет подобных членов. Такой вид многочлена называют многочленом стандартного вида.
Как и у одночлена, у многочлена имеется степень. Чтобы определить степень многочлена, сначала его нужно привести к стандартному виду, затем выбрать тот одночлен, степень которого является наибольшей из всех.
В предыдущем примере мы привели многочлен 2x + 4xy2 + x − xy2 к стандартному виду. В результате получили многочлен 3x + 3xy2. Он состоит из двух одночленов. Степенью первого одночлена является 1, а степенью второго одночлена является 3. Наибольшая из этих степеней является 3. Значит, многочлен 3x + 3xy2 является многочленом третьей степени.
А поскольку многочлен 3x + 3xy2 тождественно равен предыдущему многочлену 2x + 4xy2 + x − xy2, то и этот предыдущий многочлен является многочленом третьей степени.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.
В некоторых многочленах прежде всего требуется привести к стандартному виду одночлены, входящие в него, и только потом приводить сам многочлен к стандартному виду.
Например, приведем многочлен 3xx4 + 3xx3 − 5x2x3 − 5x2x к стандартному виду. Этот многочлен состоит из одночленов, которые не приведены к стандартному виду. Сначала приведём их к стандартному виду:
3xx4 + 3xx3 − 5x2x3 − 5x2x = 3x5 + 3x4 − 5x5 − 5x3
Теперь получившийся многочлен 3x5 + 3x4 − 5x5 − 5x3 можно привести к стандартному виду. Для этого приведем его подобные члены. Подобными являются члены 3x5 и −5x5. Больше подобных членов нет. Члены 3x4 и −5x3 будут переписаны без изменений:
3xx4 + 3xx3 − 5x2x3 − 5x2x = 3x5 + 3x4 − 5x5 − 5x3 = −2x5 + 3x4 − 5x3
Пример 2. Привести многочлен 3ab + 4cc + ab + 3c2 к стандартному виду.
Сначала приведем одночлен 4cc, входящий в исходный многочлен, к стандартному виду, получим 4с2
3ab + 4cc + ab + 3c2 = 3ab + 4с2 + ab + 3c2
Далее приведём подобные члены:
3ab + 4cc + ab + 3c2 = 3ab + 4с2 + ab + 3c2 = 4ab + 7c2
Пример 3. Привести многочлен 4x2 − 4y − x2 + 17y − y к стандартному виду.
Подобными членами в данном многочлене являются 4x2 и −x2, а также −4y, 17y и −y. Приведем их:
4x2 − 4y − x2 + 17y − y = 3x2 + 12y
Приводя подобные члены, можно использовать скобки. Для этого подобные члены следует заключить в скобки, затем объединить выражения в скобках с помощью знака «плюс».
Решим предыдущий пример с помощью скобок. Подобными членами в нём были 4x2 и −x2, а также −4y, 17y и −y. Заключим их в скобки и объединим с помощью знака «плюс»
4x2 − 4y − x2 + 17y − y = (4x2 − x2) + (−4y + 17y − y)
Теперь в скобках выполним приведение подобных членов:
4x2 − 4y − x2 + 17y − y = (4x2 − x2) + (−4y + 17y − y) = (3x2) + (12y)
В получившемся выражении (3x2) + (12y) раскроем скобки:
4x2 − 4y − x2 + 17y − y = (4x2 − x2) + (−4y + 17y − y) = (3x2) + (12y) = 3x2 + 12y
Конечно, такой подход нагромождает выражение, но зато позволяет свести к минимуму допущение ошибок.
Пример 4. Привести многочлен 12x2 − 9y − 9x2 + 6y + y к стандартному виду.
Заключим в скобки подобные слагаемые и объединим их с помощью знака «плюс»
12x2 − 9y − 9x2 + 6y + y = (12x2 − 9x2) + (−9y + 6y + y)
Далее вычисляем содержимое скобок:
12x2 − 9y − 9x2 + 6y + y = (12x2 − 9x2) + (−9y + 6y + y) = (3x2) + (−2y)
Избавляемся от скобок при помощи раскрытия:
12x2 − 9y − 9x2 + 6y + y = (12x2 − 9x2) + (−9y + 6y + y) = (3x2) + (−2y) = 3x2 − 2y