Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.
Например, умножим многочлен x + 3 на y + 4
Заключим в скобки каждый многочлен и объединим их знаком умножения ×
(x + 3) × (y + 4)
Либо запишем их друг за другом без знака ×. Это тоже будет означать умножение:
(x + 3)(y + 4)
Теперь умножим каждый член первого многочлена (x + 3) на каждый член второго многочлена (y + 4). Здесь опять же будет применяться распределительный закон умножения:
(a + b)c= ac + bc
Отличие в том, что у нас вместо переменной c имеется многочлен (y + 4), состоящий из членов y и 4. Наша задача умножить (x + 3) сначала на y, затем на 4. Чтобы не допустить ошибку, можно представить, что члена 4 пока не существует вовсе. Для этого его можно закрыть рукой:
Получаем привычное для нас умножение многочлена на одночлен. А именно, умножение многочлена (x + 3) на одночлен y. Выполним это умножение:
(x + 3)(y + 4) = xy + 3y
Мы умножили (x + 3) на y. Теперь осталось умножить (x + 3) на 4. Для этого умножаем каждый член многочлена (x + 3) на одночлен 4. На этот раз в исходном выражении (x + 3)(y + 4) рукой закроем y, поскольку на него мы уже умножали многочлен (x + 3)
Получаем умножение многочлена (x + 3) на одночлен 4. Выполним это умножение. Умножение необходимо продолжать в исходном примере (x + 3)(y + 4) = xy + 3y
(x + 3)(y + 4) = xy + 3y + 4x + 12
Таким образом, при умножении многочлена (x + 3) на многочлен (y + 4) получается многочлен xy + 3y + 4x + 12.
По другому умножение многочлена на многочлен можно выполнить ещё так: каждый член первого многочлена умножить на второй многочлен целиком и полученные произведения сложить.
Решим предыдущий пример, воспользовавшись этим способом. Умножим каждый член многочлена x + 3 на весь многочлен y + 4 целиком и сложим полученные произведения:
(x + 3)(y + 4) = x(y + 4) + 3(y + 4)
В результате приходим к умножению одночлена на многочлен, которое мы изучили ранее. Выполним это умножение:
(x + 3)(y + 4) = x(y + 4) + 3(y + 4) = xy + 4x + 3y + 12
Получится тот же результат что и раньше, но члены полученного многочлена будут располагаться немного по другому.
Умножение многочлена на многочлен имеет геометрический смысл. Допустим, имеется прямоугольник, длина которого a и ширина b
Площадь этого прямоугольника будет равна a × b.
Увеличим длину данного прямоугольника на x, а ширину на y
Достроим отсутствующие стороны и закрасим для наглядности получившиеся прямоугольники:
Теперь вычислим площадь получившегося большого прямоугольника. Для этого вычислим по отдельности площадь каждого прямоугольника, входящего в этот большой прямоугольник и сложим полученные результаты. Площадь жёлтого прямоугольника будет равна ab, площадь серого xb, площадь фиолетового ay, площадь розового xy
ab + xb + ay + xy
А это всё равно что умножить длину получившегося большого прямоугольника на его ширину. Длина в данном случае это a + x, а ширина b + y
(a + x)(b + y)
То есть выражения (a + x)(b + y) и ab + xb + ay + xy тождественно равны
(a + x)(b + y) = ab + xb + ay + xy
Представим, что у нас имелся прямоугольник, длиной 6 см и шириной 3 см, и мы увеличили его длину на 2 см, а ширину на 1 см
Достроим отсутствующие стороны и закрасим для наглядности получившиеся прямоугольники:
Площадь получившегося большого прямоугольника будет равна (6 + 2)(3 + 1) или сумме площадей прямоугольников, входящих в большой прямоугольник: 6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1. В обоих случаях получим один и тот же результат 32
(6 + 2)(3 + 1) = 32
6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 32
Поэтому,
(6 + 2)(3 + 1) = 6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 18 + 6 + 6 + 2 = 32
Действительно, в получившемся большом прямоугольнике содержится тридцать два квадратных сантиметра:
Пример 2. Умножить многочлен a + b на c + d
Заключим исходные многочлены в скобки и запишем их друг за другом:
(a + b)(c + d)
Теперь умножим каждый член первого многочлена (a + b) на каждый член второго многочлена (c + d)
(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd
Пример 4. Выполнить умножение (−x − 2y)(x + 2y2)
Умножим каждый член многочлена (−x − 2y) на каждый член многочлена (x + 2y2)
(−x − 2y)(x + 2y2) = −x2 − 2xy − 2xy2 − 4y3
Результат перемножения членов нужно записывать вместе со знаками этих членов. Рассмотрим поэтапно, как был решён данный пример.
Итак, требуется умножить многочлен (−x − 2y) на многочлен (x + 2y2). Сначала надо умножить многочлен (−x − 2y) на первый член многочлена (x + 2y2), то есть на x.
Умножаем −x на x, получаем −x2. В исходном выражении (−x − 2y)(x + 2y2) ставим знак равенства и записываем −x2
(−x − 2y)(x + 2y2) = −x2
После этого в исходном выражении никаких знаков ставить нельзя. Нужно сразу приступать к следующему умножению. А именно умножению −2y на x . Получится −2xy. Этот результат является отрицательным, то есть со знаком минус. В исходном выражении записываем результат −2xy сразу после члена −x2
(−x − 2y)(x + 2y2) = −x2 − 2xy
Теперь умножаем многочлен (−x − 2y) на второй член многочлена (x + 2y2), то есть на 2y2
Умножаем −x на 2y2, получаем −2xy2. В исходном выражении записываем этот результат сразу после члена −2xy
(−x − 2y)(x + 2y2) = −x2 − 2xy − 2xy2
Приступаем к следующему умножению. А именно умножению −2y на 2y2. Получаем −4y3. В исходном выражении этот результат записываем вместе со своим минусом сразу после члена −2xy2
(−x − 2y)(x + 2y2) = −x2 − 2xy − 2xy2 − 4y3
Пример 5. Выполнить умножение (4a2 + 2ab − b2)(2a − b)
Умножим каждый член многочлена (4a2 + 2ab − b2) на каждый член многочлена (2a − b)
В получившемся выражении можно привести подобные слагаемые:
Пример 6. Выполнить умножение −(a + b)(с − d)
В этот раз перед скобками располагается минус. Этот минус является коэффициентом −1. То есть исходное выражение является произведением трёх сомножителей: −1, многочлена (a + b) и многочлена (с − d).
−1(a + b)(с − d)
Согласно сочетательному закону умножения, если выражение состоит из нескольких сомножителей, то его можно вычислять в любом порядке.
Поэтому сначала можно перемножить многочлены (a + b) и (с − d) и полученный в результате многочлен умножить на −1. Перемножение многочленов (a + b) и (с − d) нужно выполнять в скобках
−1(a + b)(с − d) = −1(ac + bc − ad − bd)
Теперь перемножаем −1 и многочлен (ac + bc − ad − bd). В результате все члены многочлена (ac + bc − ad − bd) поменяют свои знаки на противоположные:
−1(a + b)(с − d) = −1(ac + bc − ad − bd) = −ac − bc + ad + bd
Либо можно было перемножить −1 с первым многочленом (a + b) и результат перемножить с многочленом (с − d)
−1(a + b)(с − d) = (−a − b)(с − d) = −ac − bc + ad + bd
Пример 7. Выполнить умножение x2(x + 5)(x − 3)
Сначала перемножим многочлены (x + 5) и (x − 3), затем полученный в результате многочлен перемножим с x2
Пример 8. Выполнить умножение (a + 1)(a + 2)(a + 3)
Сначала перемножим многочлены (a + 1) и (a + 2), затем полученный многочлен перемножим с многочленом (a + 3)
Итак, перемножим (a + 1) и (a + 2)
Полученный многочлен (a2 + a + 2a + 2) перемножим с (a + 3)
Если быстрое перемножение многочленов на первых порах даётся тяжело, можно воспользоваться подробным решением, суть которого заключается в том, чтобы записать, как каждый член первого многочлена умножается на весь второй многочлен целиком. Такая запись хоть и занимает место, но позволяет свести к минимуму допущение ошибок.
Например, выполним умножение (a + b)(c + d)
Запишем как каждый член многочлена a + b умножается на весь многочлен c + d целиком. В результате придём к умножению одночлена на многочлен, выполнять которое проще:
(a + b)(c + d) = a(с + d) + b(с + d) = aс + ad + bс + bd
Такая запись удобна при умножении двучлена на какой-нибудь многочлен, в котором содержится больше двух членов. Например:
(x + y)(x2 + 2xy + y2) = x(x2 + 2xy + y2) + y(x2 + 2xy + y2) = x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Или при перемножении многочленов, содержащих больше двух членов. Например, умножим многочлен x2 + 2x − 5 на многочлен x3 − x + 2
(x2 + 2x − 5)(x3 − x + 2)
Запишем перемножение исходных многочленов в виде умножения каждого члена многочлена x2 + 2x − 5 на многочлен x3 − x + 2.
Получили привычное для нас умножения одночленов на многочлены. Выполним эти умножения:
В получившемся многочлене приведём подобные члены:
Одночлены, входящие в получившийся многочлен, расположим в порядке убывания степеней. Делать это необязательно. Но такая запись будет красивее:
